a2x + b2y का न्यूनतम मान, जहाँ xy = c² है, क्या है?

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NDA (Held On: 21 Apr 2019) Maths Previous Year paper

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Answer 1

धारणा:

AM-GM असमिका:

यदि x1. . . Xn ≥ 0 तो

\(\Rightarrow \frac{{x1 + x2 + \ldots + xn}}{n}\; \ge \;\sqrt[n]{{x1.x2 \ldots xn}}\)

गणना:

माना कि a²x और b²y दो संख्या हैं।

फिर AM-GM असमिका लागू करें

\(AM \ge GM\)

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y}}}}{2}\; \ge \;\sqrt[2]{{{{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y}}}}\)

\(\Rightarrow {{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y\;}} \ge 2\sqrt[2]{{{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2}xy}}\)

\(Given\;xy = {c^2}\)

\(\Rightarrow {{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y}} \ge 2\sqrt[2]{{{{\rm{a}}^2}{{\rm{b}}^2}{c^2}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{a}}^2}{\rm{x\;}} + {\rm{\;}}{{\rm{b}}^2}{\rm{y\;}} \ge {\rm{\;}}2{\rm{abc}}\)

a2x + b2y का न्यूनतम मान 2abc है