If α ∈ (0, π/2), then minimum value of \(2x+\frac{tan^2α}{2x}\) is

अवधारणा:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य, हरात्मक माध्य के सूत्र:

यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है 

⇔ \({\rm{A}} = \frac{{{\rm{a\;}} + {\rm{\;b}}}}{2}\)

यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है 

⇔ \({\rm{G}} = \sqrt {{\rm{ab}}} \)

समांतर माध्य (AM) और ज्यामितीय माध्य (GM) के बीच संबंध

AM  ≥ GM

गणना:

Given that,

\(2x+\frac{tan^2α}{2x}\)

Let a = 2x, b = \(\frac{tan^2α}{2x}\)

We know that,

AM  ≥  GM

\(\frac{2x+\frac{tan^2α}{2x}}{2} ≥ \ \sqrt{2x\times\frac{tan^2α}{2x}}\)

⇒ \(2x+\frac{tan^2α}{2x}\) ≥ 2 tan α 

⇒  \(2x+\frac{tan^2α}{2x}\) ∈ [2 tan α, ∞)

Hence, the minimum value is 2 tan α​.