Question
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निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
मान लीजिए कि वक्र f(x) = |x - 3| है।
वक्र f(x) और y = 3 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
दिया गया है,
फलन f(x) = |x - 3| है, और हमें वक्र और रेखा y = 3 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम फलन को 3 के बराबर रखते हैं:
\( |x - 3| = 3 \)
x के लिए हल करना:
- \( x \geq 3 \) के लिए, \(x - 3 = 3 \), जो x = 6 देता है।
- (x < 3) के लिए, 3 - x = 3, जो x = 0 देता है।
इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु x = 0 और x = 6 हैं।
क्षेत्रफल की गणना x = 0 से x = 6 तक वक्र और रेखा के बीच के अंतर को समाकलित करके की जा सकती है। निरपेक्ष मान फलन के कारण समाकल को दो भागों में विभाजित किया गया है:
\( A = \int_{0}^{3} (3 - x) \, dx + \int_{3}^{6} (x - 3) \, dx \)
x [0, 3] में, (f(x) = 3 - x), और (x [3, 6] में), (f(x) = x - 3).
दोनों समाकलों की गणना करें:
- x [0, 3] के लिए:
\( \int_{0}^{3} (3 - x) \, dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = 9 - 4.5 = 4.5 \)
- x [3, 6] के लिए:
\( \int_{3}^{6} (x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{6} = 4.5 \)
चरण 4: कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रफलों का योग है:
\( A = 4.5 + 4.5 = 9 \, \text{square units} \)
∴ वक्र और रेखा से परिबद्ध कुल क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।
सही उत्तर विकल्प (4) है।
Last updated on Jul 8, 2025
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