Question
Download Solution PDFनिम्न समीकरणों की प्रणाली में __________ है।
x + 2y + z = 0
x - z = 0
x + y = 0
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0
…
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0
उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2,…, xn है। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं हमें निम्नलिखित आव्यूह की रैंक खोजने की आवश्यकता है।
A समीकरणों की दी गई प्रणाली का गुणांक आव्यूह है।
हम समीकरणों की दी गई प्रणाली की संगति निम्नानुसार पा सकते हैं:
(i) यदि आव्यूह A की रैंक अज्ञातों की संख्या के बराबर है तो प्रणाली में केवल एक नगण्य शून्य समाधान है।
A की रैंक = n
(ii) यदि आव्यूह A की रैंक अज्ञातों की संख्या से कम है तो प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान हैं।
A की रैंक < n
गणना:
दिया हुआ:
समीकरणों की दी गई प्रणाली को नीचे दिखाए गए अनुसार आव्यूह रूप में दर्शाया जा सकता है।
C1 → C1 + C3,
C1 = C2, अतः |A|3× 3 = 0, रैंक ≠ 3
आव्यूह कोटि का सारणिक 2 ≠ 0, इसलिए आव्यूह A की रैंक = 2
आव्यूह की रैंक A = 2 < n = 3
चूंकि आव्यूह की रैंक चरों (n) से कम है। इसलिए रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली में असीम रूप से कई समाधान हैं।
Last updated on May 9, 2025
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