सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। 

  सूची - I सूची - II
(I)

समीकरण (1cos2x)(cos2x+cot2x)=0 के हलों की संख्या जहाँ 0x2π है, है

(P) 4
(II) tan81tan63tan27+tan9 बराबर है (Q) 3
(III) (x, y) के हलों की संख्या, जो |y| = sin x और y = cos-1(cos x) को संतुष्ट करते हैं, जहाँ -2π ≤ x ≤ 2π है (R) 2
(IV) समीकरण cos1x+cos12x+π=0 के लिए, वास्तविक हलों की संख्या है (S) 1
    (T) 0

 

  1. (I) → T, (II) → S, (III) → S, (IV) → Q
  2. (I) → S, (II) → Q, (III) → R, (IV) → S
  3. (I) → T, (II) → P, (III) → Q, (IV) → T
  4. (I) → S, (II) → T, (III) → S, (IV) → Q

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : (I) → T, (II) → P, (III) → Q, (IV) → T

Detailed Solution

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परिकलन

(I) (1cos2x)(cos2x+cot2x)=0

cos2x=1x=0,π,2π

लेकिन x के सभी मानों के लिए, cotx परिभाषित नहीं है।

इसलिए, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

(I) → T

(II) tan81tan63tan27+tan9

= (tan81+tan9)[tan63+tan27]

[sin81cos81+sin9cos9][sin63cos63+sin27cos27]

[sin81cos9+sin9cos81cos9cos81][sin63cos27+sin27cos63cos27cos63]

[sin(81+9)]cos9cos(909)[sin(63+27)]cos27cos(9027)

sin90cos9sin9sin90cos27sin27

1sin9cos9×221sin27cos27×22

2sin182sin54

2[sin54sin18sin18sin54]

2[2cos36sin18sin18cos36]=4

(II) → P

(III) [0, π] में, |y| = sin x, y = cos-1(cos x) = x

[π, 2π] में, |y| = sin x, y = cos-1(cos(2π - x)) = 2π - x

[-π, 0] में, |y| = sin x, y = cos-1(cos(-x)) = -x

[-2π, -π] में, |y| = sin x, y = cos-1(cos(2π + x)) = 2π + x

आलेख बनाने पर, हमारे पास है

qImage67d2b1af89aec2449ed61dfe

कुल 3 हल

(III) → Q

(IV) दिया गया समीकरण है

cos1x+cos12x+π=0

cos1x+cos12x=π

⇒ cos1(x2x1x214x2)=π

⇒ 2x21x214x2=1

⇒ (1+2x2)=1x214x2

On squaring both sides, we get

⇒ 1+4x4+4x2=(1x2)(14x2)

⇒ 1+4x4+4x2=15x2+4x4

⇒ 9x2=0

x=0

∴ लेकिन x = 0 दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

इसलिए, वास्तविक हलों की संख्या शून्य है।

(IV) → T

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

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