δ(ω - ω0) का व्युत्क्रम फॉरियर रूपांतरण__________है। 

संकल्पना:

फॉरियर रूपांतरण के लिए समय-स्थानांतरण गुण:

यदि X(ω), x(t) का फॉरियर रूपांतरण है,

\(x\left( {t - {t_0}} \right) ↔ X\left( \omega \right){e^{ - j\omega {t_0}}}\)  ---(1)

फॉरियर रूपांतरण का द्विविधता गुण:

यदि X(ω), x(t) का फॉरियर रूपांतरण है, 

\(X\left( t \right) ↔ 2\pi x\left( { - \omega } \right)\)

गणना:

δ(t) का फॉरियर रूपांतरण = 1 

अब व्युत्क्रम फॉरियर रूपांतरण की परिभाषा से

\(\delta(\omega)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}\)

अब समीकरण (1) से समय-स्थानांतरण गुण का प्रयोग करने पर

\(\delta(\omega \ - \ \omega_o)\leftrightarrow\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_ot}\)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है। 

Important Points

इकाई आवेग फलन:

एक निरंतर-समय वाले इकाई आवेश फलन δ(t), जिसे डिराक डेल्टा फलन भी कहा जाता है, को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

δ (t) = ∞ , t = 0

= 0,  हालाँकि

इकाई आवेग फलन को ‘1’ की दृढ़ता के साथ एक तीर के निशान द्वारा दर्शाया गया है जो इसके क्षेत्रफल को दर्शाता है। 

\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty δ \left( t \right)dt = 1\)

डेल्टा फलन का गुण:

शल्कन गुण:

\(δ \left( {at} \right) = \frac{1}{{\left| {at} \right|}}δ \left( t \right)\)

गुणन गुण:

X(t).δ(t – t0) = x(t0)δ(t – t0)

प्रतिचयन गुण:

\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)δ \left( {t - {t_0}} \right)dt = x\left( {{t_0}} \right)\)

महत्वपूर्ण समीकरण:

 X(t).δ(t) = x(0)δ(t)

\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right)δ \left( t \right)dt = x\left( 0 \right)\)