Δ ABC में B के निर्देशांक (0, 0), AB = 2, ∠ABC = π/3 हैं और BC के मध्य बिंदु में निर्देशांक (2, 0) है। तो त्रिभुज का केन्द्रक क्या है?

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  1. (1, -1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 :
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UP TGT Arts Full Test 1
125 Qs. 500 Marks 120 Mins

Detailed Solution

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संकल्पना:

अपोलोनियस का प्रमेय सूत्र

a, b, c : भुजाओं की लम्बाई 

m : माध्यिका 

नीचे दर्शाये गए त्रिभुज को लेने पर

माध्यिका की लम्बाई और भुजा BC के लिए सूत्र

आकृति (1) से

3(AB2 + BC2 + CA2) = 4 (BF2 + AE2 + CD2)

अपोलोनियस प्रमेय से दर्शायी गयी आकृति की तरह किसी त्रिभुज में, 

AB2 + AC2 = 2(AE2 + BE2)....(1)

कोसाइन सूत्र

नीचे दर्शाये गए त्रिभुज को लेने पर

कोसाइन नियम के लिए निष्कर्ष निम्नलिखित हैं। 

a2 = b2 + c2 - 2bc × cosA

b2 = a2 + c2 - 2ac × cosB

c2 = a2 + b2 - 2ab × cosC

A, B, C शीर्ष पर कोण हैं। 

गणना:

दिए गए निर्देशांक B (0, 0), AB = 2 और ∠ABC = π/3 है। 

BC के मध्य बिंदु में निर्देशांक (2, 0) है। 

BD = DC

प्रमेय और समीकरण (1) से

AB2 + AC2 = 2(AD2 + BD2)

हम जानते हैं कि AB2 + AC2 = 2(AD2 + BD2)

4 + 8 = 2 (AD2 + 4)

4 + 8 = 2 AD2 + 8

4 = 2 AD2

AD = √2

माध्यिका की लम्बाई = √2

कोसाइन नियम से उपरोक्त उल्लेखित भुजा AC की लम्बाई निम्न है:

b2 = 12

b = 2√3

AB के बीच दूरी सूत्र से

y12 + x12 = 4 ⋯ (i)

AC के बीच दूरी सूत्र से

y12 + (x1 - 4)2 = 12 ⋯ (ii)

(i) और (ii) को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

4 + 16 - 8x1 = 12

8x1 = 8

x1 = 1

(i) में इस मान को रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

y1 = √3

केन्द्रक की गणना निम्न रूप में की गयी है:

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