यदि $R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& -1\\ 2& 3& 2\end{array}\right]$ तो R^-1 की शीर्ष पंक्ति क्या है?

अवधारणा :

माना कि A = [aij] कोटि n का वर्ग आव्यूह है और C = [cij] इसका सहखंड आव्यूह है। तो आव्यूह CT= [cji] को आव्यूह A का अभिसंयुक्त कहा जाता है और निम्न रूप में चिह्नित किया जाता है: adj (A) = CT= [cji], 1 ≤ i, j ≤ n।

कोटि n के किसी भी गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह A = [aij] को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है या इसका व्युत्क्रम होता है, यदि कोटि n का एक और गैर-अव्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह B मौजूद होता है। कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है: $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\cdot adjA$

गणना :

दिया हुआ: $R=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& -1\\ 2& 3& 2\end{array}\right]$

पहले आव्यूह R के अभिसंयुक्त को ढूंढें

$\Rightarrow adj\left(R\right)=\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 1\\ -6& 0& -1\\ 4& -3& 1\end{array}\right]$

⇒ |R| = 1 × (2 + 3) - 0 × (4 + 2) - 1 × (6 - 2)

⇒ |R| = 1

∵ |R| ≠ 0 ⇒ R-1 मौजूद है

जैसा कि हम जानते हैं कि, कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है: $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\cdot adjA$

$\Rightarrow R^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 1\\ -6& 0& -1\\ 4& -3& 1\end{array}\right]$

तो, R^-1 की पहली पंक्ति = [5 -3 1]

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।