यदि f(x) = \(\left\lbrace \begin{matrix}\dfrac{\sin [\rm x]}{[\rm x]}, \ \ [\rm x] \neq 0 \\\ 0, \ \ [\rm x] = 0\end{matrix} \right.\) , जहां [x] सबसे बड़ा पूर्णांक है लेकिन x से बड़ा नहीं है, तो \(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\) क्या है?

संकल्पना:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन:

सबसे बड़ा पूर्णांक फलन [x] वास्तविक संख्या x के एक समाकलित भाग को इंगित करता है जो x का निकटतम और छोटा पूर्णांक है। इसे x के तल के रूप में भी जाना जाता है

• सामान्य तौर पर, यदि n≤ x ≤ n+1 तब [x] = n (n ∈ पूर्णांक)
• इसका अर्थ है कि यदि [n, n+1) में स्थित है, तो x का सबसे बड़ा पूर्णांक फलन n होगा।

गणना​:

दिया गया:

f(x) = \(\left\lbrace \begin{matrix}\dfrac{\sin [\rm x]}{[\rm x]}, \ \ [\rm x] \neq 0 \\\ 0, \ \ [\rm x] = 0\end{matrix} \right.\)

f(x) = \( \left\lbrace \begin{matrix}\dfrac{\rm \sin (-1)}{-1} = \sin 1, \ \ -1 \leq \rm x < 0 \\\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rm \ \ 0 \leq x <1\end{matrix} \right.\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \sin 1\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) =0\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) \ne \rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)\)

तो, \(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\) मौजूद नहीं है