সমীকরণের পদ্ধতি

x + y + 2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

এর একটি সমাধান আছে যদি 

ধারণা:

m রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি বিবেচনা করুন

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

উপরের সমীকরণগুলি n অজানা x₁, x₂, …, x_n ধারণকারী। সমীকরণের উপরের পদ্ধতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা নির্ধারণ করতে, আমাদের নিম্নলিখিত মৌলকক্ষগুলির পর্যায় খুঁজে বের করতে হবে।

A = \(\rm \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}\) and [A|B] = \(\rm \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}& b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} &b_2\\ ... & ... & ... & ...& ...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}&b_m \end{bmatrix}\)

A হল সহগ ম্যাট্রিক্স এবং [A|B] সমীকরণের প্রদত্ত পদ্ধতির একটি বর্ধিত মৌলকক্ষ বলা হয়।

আমরা নিম্নরূপ সমীকরণের প্রদত্ত পদ্ধতির সামঞ্জস্য খুঁজে পেতে পারি:

(i) মৌলকক্ষ A এর পর্যায় যদি একটি বর্ধিত মৌলকক্ষের পর্যায়ের সমান হয় এবং এটি অজানা সংখ্যার সমান হয়, তাহলে পদ্ধতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং একটি অনন্য সমাধান রয়েছে।

A পর্যায় = বর্ধিত মৌলকক্ষের পর্যায় = n

(ii) যদি মৌলকক্ষ A এর পর্যায় একটি বর্ধিত মৌলকক্ষের পর্যায়ের সমান হয় এবং এটি অজানা সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে পদ্ধতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

A পর্যায় = বর্ধিত মৌলকক্ষের পর্যায় < n

(iii) মৌলকক্ষ A এর পর্যায় যদি বর্ধিত মৌলকক্ষের পর্যায়ের সমান না হয়, তাহলে পদ্ধতিটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ এবং এর কোনো সমাধান নেই।

A-এর পর্যায় ≠ বর্ধিত মৌলকক্ষের পর্যায়

গণনা:

প্রদত্ত সমীকরণ থেকে:

x + y + 2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

সহগ মৌলকক্ষ হল:

A = \(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\) এবং বর্ধিত মৌলকক্ষ, [A|B] =\(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & a \\ 1 & 0 & 1 & b \\ 2 & 1 & 3 & c \end{bmatrix}\) 

মৌলকক্ষের নির্ধারক [A] = \(\begin{vmatrix} 1&1 & 2\\ 1& 0 & 1\\ 2& 1 & 3 \end{vmatrix}\) 

R₃ = R₃ - R₁ - R₂ 

⇒ |A| = \(\begin{vmatrix} 1&1 & 2\\ 1& 0 & 1\\ 0& 0 & 0 \end{vmatrix}\) = 0

∴ মৌলকক্ষের পর্যায় হল 2

সুতরাং, মৌলকক্ষ A এর পর্যায় যদি বর্ধিত মৌলকক্ষ A|B = 2 এর পর্যায়ের সমান হয় তাহলে সমাধান

⇒ [A|B] = \(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & a \\ 1 & 0 & 1 & b \\ 2 & 1 & 3 & c \end{bmatrix}\) 

R3 = R3 - R1 - R2 

[A|B] = \(\rm \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & a \\ 1 & 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 & c - a-b \end{bmatrix}\) 

[A|B] এর পর্যায় 2 হতে হবে

c - a - b = 0

c = a + b