Z = 3x + 4y এর সর্বোচ্চ মান কত হবে, যেখানে সীমাবদ্ধতাগুলো হলো 2x + y ≤ 4, x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

ধারণা:

রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা (LPP):

• লক্ষ্য অপেক্ষকের (যা অপ্টিমাইজ করতে হবে) আচরণ নিয়ন্ত্রণকারী 'n' সংখ্যক সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবল সনাক্ত করুন।
• সিদ্ধান্ত চলকগুলির উপর সীমাবদ্ধতাগুলির সেট সনাক্ত করুন এবং সেগুলিকে রৈখিক সমীকরণ/অসমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন। এটি n-মাত্রিক স্থানে আমাদের অঞ্চল নির্ধারণ করবে যার মধ্যে লক্ষ্য অপেক্ষকটি অপ্টিমাইজ করতে হবে।
• সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবলগুলিতে অ-নেতিবাচকতার শর্ত আরোপ করতে ভুলবেন না অর্থাৎ, সেগুলির সবগুলিই ধনাত্মক হতে হবে কারণ সমস্যাটি একটি ভৌত ​​দৃশ্যপটকে উপস্থাপন করতে পারে এবং এই ধরনের চলক নেতিবাচক হতে পারে না।
• লক্ষ্য অপেক্ষকটিকে সিদ্ধান্ত ভেরিয়েবলগুলিতে একটি রৈখিক সমীকরণের আকারে প্রকাশ করুন।
• লক্ষ্য অপেক্ষকটিকে গ্রাফিকভাবে (কোণ পদ্ধতি) বা গাণিতিকভাবে অপ্টিমাইজ করুন।

গণনা:

লক্ষ্য অপেক্ষক হল লাভ Z = 3x + 4y।

সীমাবদ্ধতা:

2x + y ≤ 4 ...... (1)

x + 2y ≥ 12...... (2)

x, y ≥ 0... ... (3)

গ্রাফ:

সমীকরণ (1) এবং (2) এর রেখাগুলি একসাথে সমাধান করে:

সমীকরণ (2) কে 2 দ্বারা গুণ করলে পাই, 2x + 4y ≥ 24 ..... (4)

সমীকরণ 1 থেকে সমীকরণ 4 বিয়োগ করে

-3y = -20

⇒ y = \(\frac{20}{3}\)

এটি সমীকরণ (1) এ প্রতিস্থাপন করে পাই:

x = \(\frac{-4}{3}\)

∴ রেখাগুলি x = \(\frac{-4}{3}\), y = \(\frac{20}{3}\) বিন্দুতে ছেদ করে।

সমস্ত বিন্দু নিচে গ্রাফে দেখানো হয়েছে:

যেমনটি আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কোনো সাধারণ সম্ভাব্য অঞ্চল নেই, তাই প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সম্ভাব্য সমাধান থাকবে না।