చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Theorem on Segments - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on May 14, 2025
Latest Theorem on Segments MCQ Objective Questions
చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు Question 1:
ఇవ్వబడ్డ పటంలో ∠POR = 150° ఇక్కడ O అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రంగా ఉన్నప్పుడు ∠PQR దేనికి సమానం:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 1 Detailed Solution
ఉపయోగించిన భావన:
కేంద్ర కోణం ప్రధాన కోణం కంటే రెట్టింపు ఉంటుంది.
చక్రీయ చతుర్భుజంలో వ్యతిరేక కోణం యొక్క మొత్తం 180°
గణన:
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°
⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 105°
∴ సరైన సమాధానం 105°
చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు Question 2:
O అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం మరియు చాపం ABC మధ్యలో 120º కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. AB అనేది M వరకు విస్తరించబడింది, అప్పుడు ∠MBC విలువ:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 2 Detailed Solution
భావన:
కేంద్రం వద్ద ఒక చాపం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం అంచుల వద్ద ఉన్న కోణం కంటే రెట్టింపు అవుతుంది.
అందువల్ల, ∠AOB = 2 × ∠ACB
లెక్కింపు:
చిత్రంలో, ∠AXC = 120 º ÷ 2 = 60º
చతుర్భుజం AXCB ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం మరియు అందువల్ల, చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క బాహ్య కోణం చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక అంతర్గత కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది.
⇒ ∠MBC = ∠AXC = 60º
∴ ∠MBC యొక్క కొలత 60º.
చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు Question 3:
ఇచ్చిన చిత్రంలో ∠CBD = 90° మరియు ∠BDA = 30° మరియు B అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం. ∠ABD మరియు ∠BCD యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 3 Detailed Solution
ఇచ్చిన:
∠CBD = 90°
∠BDA = 30°
భావన:
సమద్విబాహు త్రిభుజం: సమద్విబాహు త్రిభుజం అనేది సమాన పొడవు గల రెండు భుజాలను కలిగి ఉండే త్రిభుజం.
సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల సంబంధిత కోణం సమానంగా ఉంటుంది.
త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180°.
లెక్కింపు:
ΔBCD లో,
BC = BD
∠BCD = ∠BDC (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల సంబంధిత కోణం సమానంగా ఉంటుంది)
⇒ ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180° (త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180°)
⇒ 2∠BCD + 90° = 180°
⇒ 2∠BCD = 90°
⇒ ∠BCD = 45° .....(1)
ΔABD లో,
AB = BD
∠BAD = ∠BDA = 30° (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల సంబంధిత కోణం సమానంగా ఉంటుంది)
∠BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180° (త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180°)
⇒ 30° + 30° + ∠ABD = 180°
⇒ ∠ABD = 180° - 60°
⇒ ∠ABD = 120° ....(2)
సమీకరణం నుండి (1) మరియు (2)
∠ABD - ∠BCD
⇒ 120° - 45° = 75°
∴ ∠ABD - ∠BCD = 75°
చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు Question 4:
చక్రీయ-చతుర్భుజ WXYZ యొక్క W మరియు Y బిందువు వద్ద P బిందువు నుండి వృతానకి గీసిన టాంజెంట్ జత. ఒకవేళ ∠WPY 60∘ అయితే, ∠WXY విలువను కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 4 Detailed Solution
ఇచ్చిన:
చక్రీయ-చతుర్భుజము WXYZ యొక్క W మరియు Y బిందువు వద్ద P బిందువు నుండి వృత్తానికి ఒక జత స్పర్శ రేఖలు గీయబడతాయి.
∠WPY = 60∘
ఉపయోగించిన భావన:
సమాన పొడవు ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న రెండు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.
AB = AC అయితే, అప్పుడు ∠ABC = ∠ACB
చేదన రేఖల సిద్ధాంతం:
పై చిత్రం ప్రకారం, స్పర్శ రేఖ మరియు తీగ మధ్య కోణం (θ) ప్రత్యామ్నాయ విభాగంలోని కోణానికి (θ) సమానంగా ఉంటుంది.
సాధారణ బిందువు P నుండి A మరియు B వద్ద ఉన్న వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్ల జత,
అప్పుడు, PA = PB (బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్ల పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి)
లెక్కింపు:
ప్రశ్న ప్రకారం, అవసరమైన సంఖ్య:
టాంజెంట్ల పొడవు ఒకేలా ఉంటుంది కాబట్టి,
అందువలన,
∠PWY = ∠PYW
In ΔPWY,
∠WPY + ∠PWY + ∠PYW = 180∘
⇒ 60∘ + 2∠PWY = 180∘
⇒ ∠PWY = ∠PYW = 60∘
చేధన రేఖాల సిద్ధాంతం ప్రకారం,
∠PWY = ∠PYW = ∠WZY = 60∘
చక్రీయ చతుర్భుజానికి వ్యతిరేక కోణాల మొత్తం 180∘ కాబట్టి,
అందువలన
∠WZY + ∠WXY = 180∘
⇒ 60∘ + ∠WXY = 180∘
⇒ ∠WXY = 120∘
అవసరమైన చిత్రం:
∴ అవసరమైన సమాధానం 120∘.
చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు Question 5:
ఇచ్చిన పటంలో AOB ఒక వృత్తం యొక్క చతుర్ధాంశం, PT = 96 సెం.మీ, PB = 36 సెం.మీ, OT = r. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 5 Detailed Solution
ఇవ్వబడింది:
PT = 96 సెం.మీ
PB = 36 సెం.మీ
OT = r
ఉపయోగించిన భావన:
ఇక్కడ, ΔPTO ఒక లంబకోణ త్రిభుజం, ∠PTO = 90° ఎందుకంటే PT అనేది P గుండా వెళ్ళే వృత్తం యొక్క తాళము. కాబట్టి, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ను ఉపయోగించి
OP2 = OT2 + PT2
గణన:
భావన ప్రకారం,
(OB + PB)2 = OT2 + PT2
⇒ (r + 36)2 = r2 + 962
⇒ r2 + 362 + 72r = r2 + 962
⇒ r = 110 సెం.మీ
∴ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 110 సెం.మీ.
Top Theorem on Segments MCQ Objective Questions
ఇచ్చిన చిత్రంలో, ∠BOQ = 60° మరియు AB వృత్తం యొక్క వ్యాసం
∠ABO విలువ?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDF⇒ ∠BOA = 90°
⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°
ΔABO లో,
⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°
క్రింద ఇవ్వబడిన పటంలో, SPT అనేది P వద్ద వృత్తానికి స్పర్శరేఖ మరియు O వృత్త కేంద్రం. ∠QPT = α అయితే, ∠POQ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDF∠OPT = 90° [∵ వ్యాసార్థం స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది]
∠OPQ = 90° - ∠QPT = 90° - α
∠OQP = 90° - α [∵ OQ = OP]
త్రిభుజం OQP లో
∠O + ∠Q + ∠P = 180°
∠O + 90 - α + 90 - α = 180
∴ ∠O = 2α
ఇచ్చిన చిత్రంలో వృత్తం యొక్క కేంద్రం O అయితే, x విలువను కనుగొనండి:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చిన సమస్య:
∠AOC = 110°
∠AOB = 90°
ఉపయోగించిన పద్ధతి:
కేంద్రం వద్ద ఒక ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత, దాని ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం కంటే రెట్టింపు అవుతుంది.
కేంద్రం చుట్టూ ఉండే కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 360°కి సమానం.
సాధన:
∠AOC = 110°
∠AOB = 90°
కేంద్రం చుట్టూ ఉండే కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 360° కు సమానం
∠BOC = 360° - (∠AOC + ∠AOB)
⇒ ∠BOC = 360° - (110° + 90°)
⇒ ∠BOC = 160°
ఇక్కడ,
∠BAC = ∠BOC/2
∠BAC = 160°/2
∠BAC = 80°
∴ x విలువ 80°.
Alternate Method
AOC త్రిభుజంలో,
OC = OA (వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం)
కాబట్టి, ఈ భుజాల వ్యతిరేక కోణాలు సమానం.
(∠OCA = ∠OAC)
∠OCA మరియు ∠OAC ని y అనుకొనిన
110 + 2y = 180
2y = 70
y = 35
AOB త్రిభుజంలో,
OA = OB (వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం)
కాబట్టి, ఈ భుజాల వ్యతిరేక కోణాలు సమానం.
(∠OAB = ∠OBA)
∠OAB మరియు ∠OBA z అని ఉండనివ్వండి
90 + 2z = 180
2z = 90
z = 45
అందువలన, 'x' విలువ (y + z) = 35 + 45 = 80
క్రింద ఇచ్చిన చిత్రంలో, AB ∶ BC = 4 ∶ 5 అయితే, AD ∶ AB నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFఇవ్వబడింది, AB ∶ BC = 4 5
BC = (5/4) × AB
AC = AB + BC
AC = AB + (5/4) × AB = (9/4) × AB
స్పర్శ రేఖ-ఖండన రేఖ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయగా, స్పర్శరేఖ మరియు ఖండన రేఖ వంటి వాటికి,
⇒ AD2 = AB × AC
⇒ AD2 = (9/4) × AB2
⇒ AD/AB = √(9/4) = 3/2
∴ AD ∶ AB = 3 ∶ 2
కింది చిత్రంలో ఉంటే, PA = 15 సెం.మీ, PD = 6 సెం.మీ, CD = 4 సెం.మీ, అప్పుడు AB సమానం:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFఈ చిత్రంలో
PB = x అనుకుందాం
చేధనరేఖ యొక్క లక్షణం ప్రకారం
PB x PA = PD x PC [PC = PD + CD]
xx 15 = 6 x 10
x = 4 = PB
AB = 15 - 4 = 11 సెం.మీ
రెండు తీగలు AB మరియు CD బిందువు O వద్ద కలుస్తే మరియు AO = (9x - 2) సెం.మీ., BO = (2x + 2) సెం.మీ., CO = 4x సెం.మీ. మరియు DO = (7x - 2) సెం.మీ., అప్పుడు, AO (x> 1) విలువను కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFమనకు తెలిసినది,
AO × OB = OC × OD
⇒ (9x – 2) × (2x + 2) = (4x) × (7x – 2)
⇒ 18x2 – 4x + 18x – 4 = 28x2 – 8x
⇒ 10x2 – 22x + 4 = 0
⇒ 10x2 – 20x – 2x + 4 = 0
⇒ 10x(x – 2) – 2(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(10x – 2) = 0
⇒ x = 2 or x = 0.2
⇒ x = 2
AO = (9x – 2) = (18 – 2) = 16 సెం.మీ.
∴ AO యొక్క విలువ 16 సెం.మీ.
క్రింద ఇవ్వబడిన చిత్రంలో, O అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం. ∠APQ = 35° అయితే, ∠OQP విలువను కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFప్రత్యామ్నాయ సెగ్మెంట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, సంపర్క బిందువు వద్ద ఒక టాంజెంట్ మరియు వ్యాసము మధ్య కోణం వృత్తం యొక్క ప్రత్యామ్నాయ విభాగంలోని వ్యాసము ద్వారా చేసిన కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది.
ఇచ్చిన చిత్రంలో,
⇒ ∠APQ = ∠QRP = 35°
మనకు తెలిసినట్లుగా, వృత్తం మధ్యలో ఉన్న చాపం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం వృత్తంలోని ఏదైనా ఇతర బిందువు వద్ద చాపం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం కంటే రెండింతలు.
⇒ ∠QOP = 2 × ∠QRP = 2 × 35° = 70°
ఇప్పుడు, ΔOQPని పరిశీలిస్తే,
∵ OQ = OP = వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం
⇒ ΔOQP అనేది ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం
⇒ ∠OQP = ∠OPQ
∵ త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం = 180°
⇒ ∠QOP + ∠OQP + ∠OPQ = 180°
∴ ∠OQP = (180° – 70°)/2 = 110°/2 = 55°
కింది చిత్రంలో, O అనేది వ్యాసార్థం 7 యూనిట్ల వృత్తానికి కేంద్రం. PO అనేది కోణం QPR మరియు కోణం QOR యొక్క కోణ సమద్విఖండనరేఖ. కోణం RPO = 30°. QR ఖండం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది,
⇒ ∠RPO = 30°
⇒ ∠RPQ = 2∠RPO = 60°
అప్పుడు,
⇒ ∠RPQ = 1/2 x ∠QOR
⇒ ∠QOR = 120°
అప్పుడు,
ఖండం QR వైశాల్యం
= ఖండం QRO యొక్క వైశాల్యం - ΔQOR యొక్క వైశాల్యం
ఖండం వైశాల్యం = (θ/360°) x πr2
ఇక్కడ θ అనేది ఏర్పడిన కోణం మరియు r అనేది వ్యాసార్థం
త్రిభుజం వైశాల్యం = 1/2 × a × b × sin θ
ఇక్కడ a, b భుజాలు మరియు θ వాటి మధ్య కోణం
= (120/360) x 22/7 x 7 x 7 - (7 x 7/2) x sin120°
= 51.33 - 21.21 = 30.12 చ.యూనిట్లు
∆ABCలో, ∠CAB యొక్క సమద్విఖండనం BCని D వద్ద మరియు ∆ABC యొక్క చుట్టుకొలత E వద్ద కలుస్తుంది. ఒకవేళ AC : AE = 4 : 7, అప్పుడు AD : AB నిష్పత్తి ఎంత అవుతుంది?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFAE అనేది ∠CAB యొక్క కోన సమద్విఖండన రేఖ .
⇒ ∠EAB = ∠CAE
అలాగే ∠CBA = ∠CEA ( వృత్తంపై జ్యా AC ద్వారా కోణాలు ఉపసంహరించబడతాయి)
⇒ ∆AEC ~ ∆ABD
⇒ AC/AE = AD/AB = 4/7
⇒ AD : AB = 4 : 7
రెండు వృత్తాలు 9 సెం.మీ మరియు 12 సెం.మీ వ్యాసార్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి మరియు ఒకదానికొకటి కలుస్తాయి. వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరం 15 సెం.మీ. వారి సాధారణ తీగ యొక్క పొడవు (సెం.మీ.లో) ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Segments Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFమధ్యలో కలిపే పంక్తి సాధారణ తీగకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు దానిని విభజిస్తుంది.
ΔNPR మరియు ΔNQRలో
NP = NQ (వ్యాసార్థం)
NR సాధారణం
∠PNR = ∠QNR [∵ NP మరియు NQ పెద్ద వృత్తానికి స్పర్శ రేఖలు]
∴ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి
ΔMNP అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం. ఎందుకంటే భుజాలు పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ అంటే 12 2 + 9 2 = 15 2
ΔMNP యొక్క వైశాల్యం = 1/2 × MN × PR = 1/2 × MP × NP
⇒ MN × PR = MP × NP
⇒ 15 × PR = 12 × 9
PR = 7.2 సెం.మీ
PQ = 2 × PR = 14.4 సెం.మీ