చేదన రేఖలపై సిద్ధాంతాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Theorem on Segments - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన భావన:

కేంద్ర కోణం ప్రధాన కోణం కంటే రెట్టింపు ఉంటుంది.

చక్రీయ చతుర్భుజంలో వ్యతిరేక కోణం యొక్క మొత్తం 180° 

గణన:

∠POR = 2 × ∠PSR

⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180° 

⇒ ∠PQR + 75° = 180°

⇒ ∠PQR = 105°

∴ సరైన సమాధానం 105°

భావన:

కేంద్రం వద్ద ఒక చాపం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం అంచుల వద్ద ఉన్న కోణం కంటే రెట్టింపు అవుతుంది.

అందువల్ల, ∠AOB = 2 × ∠ACB

లెక్కింపు:

చిత్రంలో, ∠AXC = 120 º ÷ 2 = 60º

చతుర్భుజం AXCB ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం మరియు అందువల్ల, చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క బాహ్య కోణం చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక అంతర్గత కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది.

⇒ ∠MBC = ∠AXC = 60º

∴ ∠MBC యొక్క కొలత 60º.

ఇచ్చిన:

∠CBD = 90°

∠BDA = 30°

భావన:

సమద్విబాహు త్రిభుజం: సమద్విబాహు త్రిభుజం అనేది సమాన పొడవు గల రెండు భుజాలను కలిగి ఉండే త్రిభుజం.

సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల సంబంధిత కోణం సమానంగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180°.

లెక్కింపు:

 ΔBCD లో,

BC = BD

∠BCD = ∠BDC (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల సంబంధిత కోణం సమానంగా ఉంటుంది)

⇒ ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180° (త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180°)

⇒ 2∠BCD + 90° = 180° 

⇒ 2∠BCD = 90° 

⇒ ∠BCD = 45° .....(1)

 ΔABD లో,

AB = BD

∠BAD = ∠BDA = 30° (సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల సంబంధిత కోణం సమానంగా ఉంటుంది)

∠BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180° (త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180°) 

⇒ 30° + 30° + ∠ABD = 180° 

⇒ ∠ABD = 180° - 60°

⇒ ∠ABD = 120°   ....(2)

సమీకరణం నుండి (1) మరియు (2)

∠ABD - ∠BCD

⇒ 120° - 45° = 75° 

∴ ∠ABD - ∠BCD = 75°

ఇచ్చిన:

చక్రీయ-చతుర్భుజము WXYZ యొక్క W మరియు Y బిందువు వద్ద P బిందువు నుండి వృత్తానికి ఒక జత స్పర్శ రేఖలు గీయబడతాయి.

∠WPY = 60∘

ఉపయోగించిన భావన:

సమాన పొడవు ఉన్న వైపుకు ఎదురుగా ఉన్న రెండు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

AB = AC అయితే, అప్పుడు ∠ABC = ∠ACB

చేదన రేఖల సిద్ధాంతం:

పై చిత్రం ప్రకారం, స్పర్శ రేఖ మరియు తీగ మధ్య కోణం (θ) ప్రత్యామ్నాయ విభాగంలోని కోణానికి (θ) సమానంగా ఉంటుంది.

సాధారణ బిందువు P నుండి A మరియు B వద్ద ఉన్న వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్‌ల జత,

అప్పుడు, PA = PB (బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన టాంజెంట్‌ల పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి)

లెక్కింపు:

ప్రశ్న ప్రకారం, అవసరమైన సంఖ్య:

టాంజెంట్ల పొడవు ఒకేలా ఉంటుంది కాబట్టి,

అందువలన,

∠PWY = ∠PYW

In ΔPWY,

∠WPY + ∠PWY + ∠PYW = 180∘

⇒ 60^∘ + 2∠PWY = 180∘

⇒ ∠PWY = ∠PYW = 60∘

చేధన రేఖాల సిద్ధాంతం ప్రకారం,

∠PWY = ∠PYW = ∠WZY =  60∘

చక్రీయ చతుర్భుజానికి వ్యతిరేక కోణాల మొత్తం 180∘ కాబట్టి,

అందువలన

∠WZY + ∠WXY = 180∘

⇒  60∘ + ∠WXY = 180∘

⇒ ∠WXY = 120∘

అవసరమైన చిత్రం:

∴ అవసరమైన సమాధానం 120∘.

ఇవ్వబడింది:

PT = 96 సెం.మీ

PB = 36 సెం.మీ

OT = r

ఉపయోగించిన భావన:

ఇక్కడ, ΔPTO ఒక లంబకోణ త్రిభుజం, ∠PTO = 90° ఎందుకంటే PT అనేది P గుండా వెళ్ళే వృత్తం యొక్క తాళము. కాబట్టి, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ను ఉపయోగించి

OP2 = OT2 + PT2

గణన:

భావన ప్రకారం,

(OB + PB)² = OT2 + PT2

⇒ (r + 36)2 = r2 + 962

⇒ r2 + 36² + 72r = r2 + 962

⇒ r = 110 సెం.మీ

∴ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం 110 సెం.మీ.

⇒ ∠BOA = 90°

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABO లో,

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°

∠OPT = 90° [∵ వ్యాసార్థం స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది]

∠OPQ = 90° - ∠QPT = 90° - α

∠OQP = 90° - α [∵ OQ = OP]

త్రిభుజం OQP లో

∠O + ∠Q + ∠P = 180°

∠O + 90 - α + 90 - α = 180

∴ ∠O = 2α

ఇచ్చిన సమస్య:

∠AOC = 110°

∠AOB = 90°

ఉపయోగించిన పద్ధతి:

కేంద్రం వద్ద ఒక ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత, దాని ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం కంటే రెట్టింపు అవుతుంది.

కేంద్రం చుట్టూ ఉండే కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 360°కి సమానం.

సాధన:

∠AOC = 110°

∠AOB = 90°

కేంద్రం  చుట్టూ ఉండే కోణాలు ఎల్లప్పుడూ 360° కు సమానం

∠BOC = 360° - (∠AOC + ∠AOB)

⇒ ∠BOC = 360° - (110° + 90°)

⇒ ∠BOC = 160°

ఇక్కడ,

∠BAC = ∠BOC/2

∠BAC = 160°/2

∠BAC = 80°

∴ x విలువ 80°.

Alternate Method

AOC త్రిభుజంలో,

OC = OA (వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం)

కాబట్టి, ఈ భుజాల వ్యతిరేక కోణాలు సమానం.

(∠OCA = ∠OAC)

∠OCA మరియు ∠OAC ని y అనుకొనిన

110 + 2y = 180

2y = 70

y = 35

AOB త్రిభుజంలో,

OA = OB (వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం)

కాబట్టి, ఈ భుజాల వ్యతిరేక కోణాలు సమానం.

(∠OAB = ∠OBA)

∠OAB మరియు ∠OBA z అని ఉండనివ్వండి

90 + 2z = 180

2z = 90

z = 45

అందువలన, 'x' విలువ (y + z) = 35 + 45 = 80

ఇవ్వబడింది, AB ∶ BC = 4 5

BC = (5/4) × AB

AC = AB + BC

AC = AB + (5/4) × AB = (9/4) × AB

స్పర్శ రేఖ-ఖండన రేఖ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయగా, స్పర్శరేఖ మరియు ఖండన రేఖ వంటి వాటికి,

⇒ AD2 = AB × AC

⇒ AD2 = (9/4) × AB2

⇒ AD/AB = √(9/4) = 3/2

∴ AD ∶ AB = 3 ∶ 2

ఈ చిత్రంలో

PB = x అనుకుందాం

చేధనరేఖ యొక్క లక్షణం ప్రకారం

PB x PA = PD x PC [PC = PD + CD]

xx 15 = 6 x 10

x = 4 = PB

మనకు తెలిసినది,

AO × OB = OC × OD

⇒ (9x – 2) × (2x + 2) = (4x) × (7x – 2)

⇒ 18x² – 4x + 18x – 4 = 28x² – 8x

⇒ 10x² – 22x + 4 = 0

⇒ 10x² – 20x – 2x + 4 = 0

⇒ 10x(x – 2) – 2(x – 2) = 0

⇒ (x – 2)(10x – 2)  = 0

⇒ x = 2 or x = 0.2

⇒ x = 2

AO = (9x – 2) = (18 – 2) = 16 సెం.మీ.

∴ AO యొక్క విలువ 16 సెం.మీ.​

ప్రత్యామ్నాయ సెగ్మెంట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, సంపర్క బిందువు వద్ద ఒక టాంజెంట్ మరియు వ్యాసము మధ్య కోణం వృత్తం యొక్క ప్రత్యామ్నాయ విభాగంలోని వ్యాసము ద్వారా చేసిన కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఇచ్చిన చిత్రంలో,

⇒ ∠APQ = ∠QRP = 35°

మనకు తెలిసినట్లుగా, వృత్తం మధ్యలో ఉన్న చాపం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం వృత్తంలోని ఏదైనా ఇతర బిందువు వద్ద చాపం ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం కంటే రెండింతలు.

⇒ ∠QOP = 2 × ∠QRP = 2 × 35° = 70°

ఇప్పుడు, ΔOQPని పరిశీలిస్తే,

∵ OQ = OP = వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం

⇒ ΔOQP అనేది ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం

⇒ ∠OQP = ∠OPQ

∵ త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం = 180°

⇒ ∠QOP + ∠OQP + ∠OPQ = 180°

∴ ∠OQP = (180° – 70°)/2 = 110°/2 = 55°

ఇచ్చినది,

⇒ ∠RPO = 30°

⇒ ∠RPQ = 2∠RPO = 60°

అప్పుడు,

⇒ ∠RPQ = 1/2 x ∠QOR

⇒ ∠QOR = 120°

అప్పుడు,

ఖండం QR వైశాల్యం

= ఖండం QRO యొక్క వైశాల్యం - ΔQOR యొక్క వైశాల్యం

ఖండం వైశాల్యం = (θ/360°) x πr²

ఇక్కడ θ అనేది ఏర్పడిన కోణం మరియు r అనేది వ్యాసార్థం

త్రిభుజం వైశాల్యం = 1/2 × a × b × sin θ 

ఇక్కడ a, b భుజాలు మరియు θ వాటి మధ్య కోణం

= (120/360) x 22/7 x 7 x 7 - (7 x 7/2) x sin120°

= 51.33 - 21.21 = 30.12 చ.యూనిట్లు

AE అనేది ∠CAB యొక్క కోన సమద్విఖండన రేఖ .

⇒ ∠EAB = ∠CAE

అలాగే ∠CBA = ∠CEA ( వృత్తంపై జ్యా AC ద్వారా కోణాలు ఉపసంహరించబడతాయి)

⇒ ∆AEC ~ ∆ABD

⇒ AC/AE = AD/AB = 4/7

⇒ AD : AB = 4 : 7

మధ్యలో కలిపే పంక్తి సాధారణ తీగకు లంబంగా ఉంటుంది మరియు దానిని విభజిస్తుంది.

ΔNPR మరియు ΔNQRలో

NP = NQ (వ్యాసార్థం)

NR సాధారణం

∠PNR = ∠QNR [∵ NP మరియు NQ పెద్ద వృత్తానికి స్పర్శ రేఖలు]

∴ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి

ΔMNP అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం. ఎందుకంటే భుజాలు పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ అంటే 12 ² + 9 ² = 15 ²

ΔMNP యొక్క వైశాల్యం = 1/2 × MN × PR = 1/2 × MP × NP

⇒ MN × PR = MP × NP

⇒ 15 × PR = 12 × 9

PR = 7.2 సెం.మీ

PQ = 2 × PR = 14.4 సెం.మీ