Pythagorean Identities MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Pythagorean Identities - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

10sin²θ + 6cos²θ = 7

0 < θ < 90°

ఉపయోగించిన సూత్రం:

sin²θ + cos²θ = 1

tanθ = sinθ / cosθ

గణన:

sin²θ = x అనుకుందాం, అప్పుడు cos²θ = 1 - x

⇒ 10x + 6(1 - x) = 7

⇒ 10x + 6 - 6x = 7

⇒ 4x = 1

⇒ x = 1/4

⇒ sin²θ = 1/4

⇒ sinθ = 1/2

0 < θ < 90° కాబట్టి

⇒ sinθ = 1/2

⇒ cos²θ = 1 - (1/4)

⇒ cos²θ = 3/4

⇒ cosθ = √(3)/2

0 < θ < 90° కాబట్టి

⇒ cosθ = √(3)/2

⇒ tanθ = sinθ / cosθ

⇒ tanθ = $\frac{(1/2)}{(\surd (3)/2)}$

⇒ tanθ = 1/√(3)

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక 

గణన:

$\frac{sec\alpha +tan\alpha }{sec\alpha -tan\alpha }=\frac{7}{4}$

⇒ 4(sec α + tan α) = 7(sec α - tan α)

⇒ 4 sec α + 4 tan α = 7 sec α - 7 tan α

⇒ 4 tan α + 7 tan α = 7 sec α - 4 sec α

⇒ 11 tan α = 3 sec α

⇒ 11 $\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$ = 3 $\frac{1}{cos\alpha }$

⇒ 11 sin α = 3

⇒ sin α = 3/11

ఇప్పుడు, Cosec α = 1/sin α = 1/(3/11) = 11/3

∴ సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

ఇచ్చినది :

Sec θ + tan θ = 3

ఉపయోగించిన సూత్రం :

Sec² θ - tan² θ = 1 లేదా (sec θ - tan θ) x (Sec θ + tan θ) = 1

గణనలు :

(sec θ - tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

sec θ - tan θ = 1/3 ....(1)

sec θ + tan θ = 3 ....(2) (ఇచ్చినది)

సమీకరణం (1) మరియు (2) ను సాధించడం

⇒ Sec θ = 10/6 = 5/3

⇒ cos θ = 3/5 (cos θ = (1/sec θ)

∴ సమాధానం3/5.

ఉపయోగించిన సూత్రం : 

Sin²θ + Cos²θ = 1

సాధన : 

⇒ (sin θ + cos θ)2 + (sin θ - cos θ)2

⇒ sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ + sin2θ + cos2θ - 2sinθcosθ 

⇒ 2(sin²θ + cos²θ)

⇒ 2

∴ సరైన సమాధానం 2.

ఇచ్చినది:

Cos² θ = 3/4

ఉపయోగించిన సూత్రం:

Cos 30° = Sin 60° = √3/2

గణన:

Cos2 θ = 3/4

⇒ cos θ = √(3/4) = √3/2

⇒ cos θ  = cos 30° 

⇒ θ = 30° 

sin (θ + 30°) =  sin (30° + 30°)

⇒ sin 60° = √3/2

∴ సరైన సమాధానం √3/2.

ఇచ్చినది:

sec θ + tan θ = 5

ఉపయోగించిన భావన:

sec θ + tan θ = y అయితే

అప్పుడు sec θ - tan θ = 1/y

లెక్కింపు:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

అయిన,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

సమీకరణాన్ని (1) నుండి  (2) తీసివేయడం.

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ సరైన సమాధానం 12/5.

ఇచ్చినది:

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Sinθ)} = 1

గణన:

మనకు త్రికోణమితి సమీకరణం ఉంది

{(3Sinθ - Cosθ)/(Cosθ + Sinθ)} = 1

లవము మరియు హారంను sin θతో భాగిస్తే, మనకు ఇలా లభిస్తుంది

⇒ [{(3sinθ - cosθ)/Sinθ}/{(cosθ + sinθ)/sinθ}] = 1

⇒ {(3 - cotθ)/(cotθ + 1)} = 1

⇒ 3 - cotθ = 1 + cotθ

⇒ 2cotθ = 2

cotθ = 1

విలువ 1.

ఇచ్చింది:​

$(\frac{1}{\sin \theta }+\frac{1}{\tan \theta })(\frac{1}{\sin \theta }-\frac{1}{\tan \theta })$

ఉపయోగించిన సూత్రము:

(A² - B²) = (A + B) × (A - B)

Cosec² θ - cot² θ = 1

గణన​:

$(\frac{1}{\sin \theta }+\frac{1}{\tan \theta })(\frac{1}{\sin \theta }-\frac{1}{\tan \theta })$

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ - cot θ)

⇒ Cosec2 θ - cot2 θ

⇒ 1

∴ సరైన సమాధానం 1.

 ఉపయోగించబడిన సూత్రం

(a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

గణన

sec θ + cos θ = 32

రెండు వైపులా వర్గం చేయగా:

(sec θ + cos θ)2 = sec2 θ+ cos2 θ + 2 sec θ cos θ

⇒ 1024 - 2 = sec2 θ+ cos2 θ 

⇒ sec2 θ+ cos2 θ = 1022

విలువ 1022.

ఇచ్చినది :

Sec θ + tan θ = 3

ఉపయోగించిన సూత్రం :

Sec² θ - tan² θ = 1 లేదా (sec θ - tan θ) x (Sec θ + tan θ) = 1

గణనలు :

(sec θ - tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

sec θ - tan θ = 1/3 ....(1)

sec θ + tan θ = 3 ....(2) (ఇచ్చినది)

సమీకరణం (1) మరియు (2) ను సాధించడం

⇒ Sec θ = 10/6 = 5/3

⇒ cos θ = 3/5 (cos θ = (1/sec θ)

∴ సమాధానం3/5.

ఇచ్చిన సమస్య:

Sec θ + 1/cos θ = 2

ఉపయోగించిన పద్దతి:

సాధన:

ప్రశ్న ప్రకారం:

Sec θ + 1/cos θ = 2

Sec θ + sec θ  = 2

So, θ = 0° 

ఇప్పుడు θ విలువను సమీకరణంలో ఉంచడం:

⇒ Sec⁵⁵ θ + 1/sec⁵⁵ θ 

⇒ Sec55 0° + 1/sec55 0°

⇒ 1 + 1 = 2

∴ సరైన సమాధానం 2.

ఇచ్చినది:

Cos² θ = 3/4

ఉపయోగించిన సూత్రం:

Cos 30° = Sin 60° = √3/2

గణన:

Cos2 θ = 3/4

⇒ cos θ = √(3/4) = √3/2

⇒ cos θ  = cos 30° 

⇒ θ = 30° 

sin (θ + 30°) =  sin (30° + 30°)

⇒ sin 60° = √3/2

∴ సరైన సమాధానం √3/2.

ఇచ్చిన:

sec2A + tan2A = 3

ఉపయోగించిన భావన:

sec2 α - tan2 α = 1

లెక్కింపు:

sec2A + tan2A = 3      ....(1)

sec2A - tan2A = 1      ....(2)

 (1) మరియు (2) పరిష్కరించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది,

sec2A + tan2A - sec2A + tan2A = 3 - 1 = 2

2tan2 A = 2

tan2 A = 1

So, tan A = √1 = 1

ఇప్పుడు, cot A = 1/1 = 1

∴ cot A విలువ 1.

ఉపయోగించిన సూత్రం : 

Sin²θ + Cos²θ = 1

సాధన : 

⇒ (sin θ + cos θ)2 + (sin θ - cos θ)2

⇒ sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ + sin2θ + cos2θ - 2sinθcosθ 

⇒ 2(sin²θ + cos²θ)

⇒ 2

∴ సరైన సమాధానం 2.

ఇచ్చినది:

sec θ + tan θ = 5

ఉపయోగించిన భావన:

sec θ + tan θ = y అయితే

అప్పుడు sec θ - tan θ = 1/y

లెక్కింపు:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

అయిన,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

సమీకరణాన్ని (1) నుండి  (2) తీసివేయడం.

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ సరైన సమాధానం 12/5.