Linear Algebra MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Linear Algebra - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கருத்து:

A^₂ = I எனில், அணியானது  நேர்மாறாக இருக்கும்.

கணக்கீடு:

  A =$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right)$ ஆனது A² = I என்பது போன்றது

பின்னர் A^-1 உள்ளது.

A² = I என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

∴ A.A = I

$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2+\beta \gamma & 0\\ 0& \gamma \beta +{\alpha }^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

எனவே அணிகள் சமம் மற்றும் தொடக்கநிலை உறுப்புகள் சமம்.

∴ α2 + βγ = 1

∴ 1 - α2  - βγ = 0 

கருத்து:

சேர்ப்பு அணியைப் பெறுவதற்கான படிகள்

அனைத்து உறுப்புகளின் இணை காரணிகளையும் நாம் கணக்கிட வேண்டும்

⇒ Cij அல்லது Aij=(-1)(i+j) Mij
இங்கே, Mij = சிற்றணி கோவையாகும்

இணைகாரணியின் நிரை-நிரல் மாற்று அணியே, சேர்ப்பு அணி என அழைக்கப்படுகிறது

 Adj (A) = CT

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட,

$A=\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right]$

இணை காரணி α = A11 = δ

இணை காரணி β = A12 = -γ

இணை காரணி γ = A21 = -β

இணை காரணி δ = A22 = -α

$CofactorofA=\left[\begin{array}{cc}\delta & -\gamma \\ -\beta & \alpha \end{array}\right]$

⇒  adj$A=\left[\begin{array}{cc}\delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha \end{array}\right]$

Shortcut Trick

கருத்து:

பூச்சியமற்றக் கோவை அணி 

ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்பது ஒரு சதுர அணி  ஆகும், எனில் அதன் அணிக்கோவை  பூஜ்ஜியமாக இருக்காது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

எந்தவொரு அணிக்கும் நேர்மாறு இருக்கும். அதாவது, பூச்சியமற்றக் கோவை

BB-1 = I

|BB-1| = 1

|B||B-1| = 1

$|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}=|B{|}^{-1}$

அல்லது

det (B-1) = (det B)-1

கருத்து:

நிரை நிரல் மாற்று அணி: $A_{m\times n}$ என்ற அணியிலிருந்து அதன் வரிசைகளை நெடுவரிசைகளாகவும் அதன் நெடுவரிசைகளை வரிசைகளாகவும் மாற்றுவதன் மூலம் $B_{n\times m}$ என்ற அணி உருவாகுமெனில், அணி $B_{n\times m}$  என்பது  A இன் நிரை நிரல் மாற்று அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் A^T அல்லது A¹ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

அணியின் பெருக்கல்: A = (aij) என்பது m × n வரிசையின் அணியாகவும், B என்பது n × p வரிசையின் அணியாகவும் இருந்தால், அவற்றின் பெருக்கலுக்கு பின் m × p.

நேர்மாறு அணி : சதுர அணிக்கு மட்டுமே உள்ளது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட,

P3×2, Q3×4, மற்றும் R3×4  

PT = P2×3

QT = Q4×3

Then, [Q(PTR)-1QT] = Q3× 4{[P2×3 × R3×4]-1Q4×3}

[Q(PTR)-1QT] = Q3×4 {(PR)2× 4}-1Q4×3

∵ [(PR)2× 4]  ஒரு சதுர அணி அல்ல, எனவே அதன் நேர்மாறு  வரையறுக்கப்படவில்லை.

எனவே, அணியின் மேலே உள்ள வரிசையிலிருந்து இது வரையறுக்கப்படாத அணி என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

விளக்கம்:

A, B மற்றும் C ஆகியவை அணிகள் a, b, c ஆகியவை திசையிலிகளாக இருக்கட்டும் மற்றும் அணிகளின்  அளவுகள் செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடியதாக இருக்கட்டும்.

அணிகளின்  பெருக்கலின் பண்புகள்:

அணிகளின் பெருக்கலின் சேர்ப்பு பண்பு:

• A(BC) = (AB)C

பெருக்கலின் பரிமாற்றபண்பு:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC
• AIn = InA = A,  In என்பது பொருத்தமான அலகு அணி
• c(AB)= (cA)B = A(cB)

குறிப்பு: பொதுவாக AB ≠ BA, அதாவது அணி சதுரமாக இருந்தாலும், அதே வரிசையில் இருந்தாலும், அணிகளின் பெருக்கல் மாற்றத்தக்கது அல்ல.

அணிகளின் கூட்டல் மற்றும் திசையிலி பெருக்கல் பண்புகள்:

கூட்டலின் பரிமாற்றபண்பு

• A + B = B + A

கூட்டலின் சேர்ப்பு பண்பு

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A இதில் O என்பது பொருத்தமான பூஜ்ஜிய அணி

கூட்டலின் பங்கீட்டு பண்பு

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b)C = aC + bC
• (ab)C = a(bc)

கருத்து:

நிரை நிரல் மாற்று அணி: $A_{m\times n}$ என்ற அணியிலிருந்து அதன் வரிசைகளை நெடுவரிசைகளாகவும் அதன் நெடுவரிசைகளை வரிசைகளாகவும் மாற்றுவதன் மூலம் $B_{n\times m}$ என்ற அணி உருவாகுமெனில், அணி $B_{n\times m}$  என்பது  A இன் நிரை நிரல் மாற்று அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் A^T அல்லது A¹ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

அணியின் பெருக்கல்: A = (aij) என்பது m × n வரிசையின் அணியாகவும், B என்பது n × p வரிசையின் அணியாகவும் இருந்தால், அவற்றின் பெருக்கலுக்கு பின் m × p.

நேர்மாறு அணி : சதுர அணிக்கு மட்டுமே உள்ளது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட,

P3×2, Q3×4, மற்றும் R3×4  

PT = P2×3

QT = Q4×3

Then, [Q(PTR)-1QT] = Q3× 4{[P2×3 × R3×4]-1Q4×3}

[Q(PTR)-1QT] = Q3×4 {(PR)2× 4}-1Q4×3

∵ [(PR)2× 4]  ஒரு சதுர அணி அல்ல, எனவே அதன் நேர்மாறு  வரையறுக்கப்படவில்லை.

எனவே, அணியின் மேலே உள்ள வரிசையிலிருந்து இது வரையறுக்கப்படாத அணி என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

கருத்து:

ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவை பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால் அது பூஜ்ஜியமற்ற அணிக்கோவை

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{a}}_{11}& {\mathrm{a}}_{12}\\ {\mathrm{a}}_{21}& {\mathrm{a}}_{22}\end{array}\right]$ மற்றும் A-அணிக்கோவை கொடுக்கப்பட்டது: |A| = (a11 × a22) – (a12 – a21).

${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{\left|\mathrm{A}\right|}$

குறிப்பு:

2 × 2 அணிக்கு,

A = $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{a}& \mathrm{b}\\ \mathrm{c}& \mathrm{d}\end{array}\right]$என்று எடுங்கள்

 Adj A =$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{d}& -\mathrm{b}\\ -\mathrm{c}& \mathrm{a}\end{array}\right]$

குறிப்பு: மூலைவிட்ட உறுப்புகளை மாற்றி, மீதமுள்ள உறுப்புகளின் அடையாளத்தை மாற்றவும்.

கணக்கீடு:

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$எடுங்கள் மற்றும்,

$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

இப்போது,

 $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

⇒ det A = (2 – 1) = 1

$\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

⇒ det B = (4 – 1) = 3

det A + det B = 1 + 3 = 4

$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$

⇒ det (A + B) = (12 – 4) = 8

∴ det (A+ B) ≠  det A + det B

1 வது அறிக்கை தவறானது.

2 × 2 அணிக்கு, மூலைவிட்ட உறுப்புகளை மாற்றி, மீதமுள்ள உறுப்புகளின் அடையாளத்தை மாற்றினால், நேர்மாறு அணி கிடைக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம்.

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{B}\right)=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$

நமக்கு தெரியும், ${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{\left|\mathrm{A}\right|}$

$\Rightarrow {\mathrm{A}}^{-1}=\frac{\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]}{1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow {\mathrm{B}}^{-1}=\frac{\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]}{3}=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right]$

இப்போது,

${\mathrm{A}}^{-1}+{\mathrm{B}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{3}& -\frac{4}{3}\\ -\frac{4}{3}& \frac{8}{3}\end{array}\right]$

${\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)}^{-1}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)}{det\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)}=\frac{\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right]}{8}=\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{8}& \frac{2}{8}\\ \frac{2}{8}& \frac{3}{8}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{3}{8}\end{array}\right]$

∴ (A + B)-1 ≠ A-1 + B-1

2வது அறிக்கை தவறானது.

கருத்து:

ω என்பது ஒன்றின் கன படிமூலமாக இருந்தால் அதாவது ω3 = 1

பின்னர் 1 + ω + ω2 = 0.

ω4 = ω3ω = ω [∵ ω3 =1]

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

$\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

C'1 = C1 + C2

$\left|\begin{array}{ccc}x+1+\omega +{\omega }^2& \omega & {\omega }^2\\ x+1+\omega +{\omega }^2& x+{\omega }^2& 1\\ x+1+\omega +{\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ x& x+{\omega }^2& 1\\ x& 1& x+\omega \end{array}\right|=0(\because 1+\omega +{\omega }^2=0)$

R'2 = R2 - R1 and R'3 = R3 - R1

$\left|\begin{array}{ccc}x& \omega & {\omega }^2\\ 0& x+{\omega }^2-\omega & 1-{\omega }^2\\ 0& 1-\omega & x+\omega -{\omega }^2\end{array}\right|=0$

முதல் நெடுவரிசையுடன் விரிவாக்க:

∴ x[(x + ω2 - ω)(x + ω - ω2) - (1 - ω)(1 - ω2)]

∴ x[x2 + ωx - ω2x + ω2x + ω3 - ω4 - ωx - ω2 + ω3 - 1 + ω2 + ω - ω3]

∴ x3 = 0      (∵ ω3 = 1 and ω4 = ω3ω ⇒ ω)

∴ x = 0.

கருத்து:

அணியின் அணித்தரம்: அணியின் அணித்தரத்தை R எனக் கூறப்பட்டால்:

(a) ஓர் அணிA -இன் தரம்என்பதுஅதன் பூச்சியமற்ற சிற்றணிக் கோவைகளின் உச்சவரிசையாகும்.

(b) R ஐ விட உயர்ந்த வரிசைக் கொண்ட A இன் ஒவ்வொரு சிற்றணிக்கோவையும் பூஜ்ஜியமாகும்.

குறிப்பு: பூஜ்ஜியமற்ற வரிசை என்பது அனைத்து உறுப்புகளும் பூஜ்ஜியமாக இல்லாத வரிசையாகும்.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

$B=\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& -6\\ 1& -2& 3\end{array}\right]$

R2 → 2R2 + R1 செயல்படுத்தும்போது

$B=\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& -6\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

பூஜ்ஜியம் அல்லாத நிரைகளின் எண்ணிக்கை = அணியின் அணித்தரம் = 1

∴ கொடுக்கப்பட்ட அணியின் அணித்தரம் 1 ஆகும்.

Important Points

அணியின் அணித்தரத்தின் பண்புகள்:

• வெற்று அல்லது பூஜ்ஜிய அணியின் அணித்தரம் (R) எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.
• பூஜ்ஜியம் அல்லாத அணியின் தரவரிசை (R) எப்போதும் பூஜ்ஜியமற்ற மதிப்பாக இருக்கும்.
•  பூஜ்யமல்லாத அணியின் அணித்தரம் (R) அதன் வரிசைக்கு சமம்.

            [A] என்பது ஒரு அணி

                என்றால் |A| = 0, பின்னர் [A] என்பது ஒரு பூஜ்ய அணி

              [A] ≠ 0 எனில், [A] என்பது பூஜ்யமல்லாத அணி

• ஒரு பூஜ்ய அணியின் அணித்தரம் (R) அதன் வரிசையை விட எப்போதும் குறைவாகவே இருக்கும்.
• [A] என்பது 'm x n' வரிசையின் அணியாக இருந்தால், அதன் தரவரிசைக் கொடுக்கப்படும்

வட்டத்தின் ஆரத்தை ‘r’ செமீ எனக்கொள்க. 

கூற்று (I)ஐக் கருத்தில் கொள்ள,

வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2πr

⇒ 2 × 22/7 × r = 44

⇒ r = 7 செமீ 

கூற்று (II) மற்றும் (III)ஐக் கருத்தில் கொள்ள,

வட்டத்தின் பரப்பளவு = செவ்வகத்தின் பரப்பளவு = நீளம் × அகலம் 

⇒ π r² = 14 × 11

⇒ (22/7) r² = 154

⇒ r² = 49

⇒ r = 7 செமீ 

கருத்து:

பூச்சியமற்றக் கோவை அணி 

ஒரு பூச்சியமற்றக் கோவை அணி என்பது ஒரு சதுர அணி  ஆகும், எனில் அதன் அணிக்கோவை  பூஜ்ஜியமாக இருக்காது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

எந்தவொரு அணிக்கும் நேர்மாறு இருக்கும். அதாவது, பூச்சியமற்றக் கோவை

BB-1 = I

|BB-1| = 1

|B||B-1| = 1

$|B^{-1}|=\frac{1}{|B|}=|B{|}^{-1}$

அல்லது

det (B-1) = (det B)-1

கருத்து:

A^₂ = I எனில், அணியானது  நேர்மாறாக இருக்கும்.

கணக்கீடு:

  A =$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right)$ ஆனது A² = I என்பது போன்றது

பின்னர் A^-1 உள்ளது.

A² = I என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

∴ A.A = I

$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^2+\beta \gamma & 0\\ 0& \gamma \beta +{\alpha }^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

எனவே அணிகள் சமம் மற்றும் தொடக்கநிலை உறுப்புகள் சமம்.

∴ α2 + βγ = 1

∴ 1 - α2  - βγ = 0 

விளக்கம்:

A, B மற்றும் C ஆகியவை அணிகள் a, b, c ஆகியவை திசையிலிகளாக இருக்கட்டும் மற்றும் அணிகளின்  அளவுகள் செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடியதாக இருக்கட்டும்.

அணிகளின்  பெருக்கலின் பண்புகள்:

அணிகளின் பெருக்கலின் சேர்ப்பு பண்பு:

• A(BC) = (AB)C

பெருக்கலின் பரிமாற்றபண்பு:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC
• AIn = InA = A,  In என்பது பொருத்தமான அலகு அணி
• c(AB)= (cA)B = A(cB)

குறிப்பு: பொதுவாக AB ≠ BA, அதாவது அணி சதுரமாக இருந்தாலும், அதே வரிசையில் இருந்தாலும், அணிகளின் பெருக்கல் மாற்றத்தக்கது அல்ல.

அணிகளின் கூட்டல் மற்றும் திசையிலி பெருக்கல் பண்புகள்:

கூட்டலின் பரிமாற்றபண்பு

• A + B = B + A

கூட்டலின் சேர்ப்பு பண்பு

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A இதில் O என்பது பொருத்தமான பூஜ்ஜிய அணி

கூட்டலின் பங்கீட்டு பண்பு

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b)C = aC + bC
• (ab)C = a(bc)