Twiddle Matrix MCQ Quiz - Objective Question with Answer for Twiddle Matrix - Download Free PDF

Concept:

Duality property states that:

If $\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)\stackrel{\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}}{\leftrightarrow }\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right)$ 

$\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right)\leftrightarrow \mathrm{N}\mathrm{x}{\left(\left(-\mathrm{k}\right)\right)}_{\mathrm{N}}$

Calculation:

$\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Also, $\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)=\frac{1}{\mathrm{N}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$ 

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Interchanging the variables ‘n’ & ‘k’, we get:

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Replacing k with -k, we get:

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(-\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}=\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right)\right]$

DFT [X(k)] = N x((-n))N

This can be written as:

DFT [DFT [x(n)]] = N x((-n))N

x(n) = x((-n))N is satisfied when,

x(n) = {1, 2, 3, 2}

Concept:

Duality property states that:

If $\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)\stackrel{\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}}{\leftrightarrow }\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right)$ 

$\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right)\leftrightarrow \mathrm{N}\mathrm{x}{\left(\left(-\mathrm{k}\right)\right)}_{\mathrm{N}}$

Calculation:

$\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Also, $\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)=\frac{1}{\mathrm{N}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$ 

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Interchanging the variables ‘n’ & ‘k’, we get:

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Replacing k with -k, we get:

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(-\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}=\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right)\right]$

DFT [X(k)] = N x((-n))N

This can be written as:

DFT [DFT [x(n)]] = N x((-n))N

x(n) = x((-n))N is satisfied when,

x(n) = {1, 2, 3, 2}

Concept:

Duality property states that:

If $\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)\stackrel{\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}}{\leftrightarrow }\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right)$ 

$\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right)\leftrightarrow \mathrm{N}\mathrm{x}{\left(\left(-\mathrm{k}\right)\right)}_{\mathrm{N}}$

Calculation:

$\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Also, $\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)=\frac{1}{\mathrm{N}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$ 

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(\mathrm{n}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Interchanging the variables ‘n’ & ‘k’, we get:

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}$

Replacing k with -k, we get:

$\mathrm{N}\mathrm{x}\left(-\mathrm{k}\right)=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{N}-1}\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}{\omega }_0\mathrm{n}\mathrm{k}}=\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\left[\mathrm{X}\left(\mathrm{n}\right)\right]$

DFT [X(k)] = N x((-n))N

This can be written as:

DFT [DFT [x(n)]] = N x((-n))N

x(n) = x((-n))N is satisfied when,

x(n) = {1, 2, 3, 2}

Solution: we have

$\left[\begin{array}{c}X\left[0\right]\\ \mathrm{X}\left[1\right]\\ \mathrm{X}\left[2\right]\\ \mathrm{X}\left[3\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -\mathrm{j}& -1& \mathrm{j}\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& \mathrm{j}& -1& -\mathrm{j}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\left[0\right]\\ \mathrm{x}\left[1\right]\\ \mathrm{x}\left[2\right]\\ \mathrm{x}\left[3\right]\end{array}\right]$

Substituting value we have

$\left[\begin{array}{c}X\left[0\right]\\ \mathrm{X}\left[1\right]\\ \mathrm{X}\left[2\right]\\ \mathrm{X}\left[3\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -\mathrm{j}& -1& \mathrm{j}\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& \mathrm{j}& -1& -\mathrm{j}\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}0\\ 2\\ 0\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\ -4\mathrm{j}\\ 0\\ 4\mathrm{j}\end{array}\right]$

$\Rightarrow \mathrm{X}\left[\mathrm{k}\right]=\left\{0,-4\mathrm{j},0,4\mathrm{j}\right\}$

Sum of element $=0$