Vector Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

v . curl v = v . ∇ x v = [v ∇ v] = 0

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ एक अवकलनीय सदिश बिंदु फलन है और u एक अवकलनीय अदिश बिंदु फलन है।

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{u}\overrightarrow{\mathrm{a}})$

= curl × $(u\overrightarrow{a})$

= $(\mathrm{\nabla }\mathrm{u})\times \overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{u}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{\mathrm{a}})$

अतः विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

$\overrightarrow{\mathrm{H}}=\mathrm{x}\hat{\mathrm{i}}+2\mathrm{y}\hat{\mathrm{j}}+3\mathrm{z}\hat{\mathrm{k}}$

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{H}=(\frac{\partial }{\partial x}i+\frac{\partial }{\partial y}j+\frac{\partial }{\partial z}k)\cdot (xi+2yj+3zk)$

= $\frac{\partial }{\partial x}(x)+\frac{\partial }{\partial y}(2y)+\frac{\partial }{\partial z}(3z)$

= 1 + 2 + 3 = 6

इसलिए, ${\iint }_{\mathrm{x}}\overrightarrow{\mathrm{H}}.\hat{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{S}$ = $\int \int {\int }_A\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{H}dA$

= $\int \int {\int }_{A}6dA$

= 6A

विकल्प (2) सही है।

व्याख्या

दिया गया है:
D एक बंद पृष्ठ है।
$\overrightarrow{F}=(a,b,c)$ , एक स्थिर सदिश।
$\overrightarrow{N}$ बाह्य दिशा में इकाई अभिलंब सदिश है।

अपसरण प्रमेय कहता है:

${\iint }_D\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS={\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})dV$

जहाँ V पृष्ठ D द्वारा परिबद्ध आयतन है।

चूँकि $\overrightarrow{F}=(a,b,c)$ एक स्थिर सदिश है, $\overrightarrow{F}$ का अपसरण है:
$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}=0$
क्योंकि प्रत्येक घटक a, b और c स्थिर (x, y या z से स्वतंत्र) है। इस प्रकार, V पर $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}$ का आयतन समाकल है:
${\iiint }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})dV={\iiint }_{V}0dV=0$

इसलिए:

${\iint }_D\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS=0$

सही विकल्प: विकल्प 2) ${\iint }_D\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{N}dS=0$ है। 

संकल्पना:

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए। 

AB + BC + CA = 0 

सदिशों का पार गुणनफल:

दो सदिश $\overline{a}=ai+bj+ck$ और $\overline{b}=di+ej+fk$ के लिए पार गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$\overline{a}\times \overline{b}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right|=pi+qj+rk$

पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

$A=|a\times b|=\sqrt{p^2+q^2+r^2}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल:

यदि सदिश $\overline{a}\text{ and }\overline{b}$ त्रिभुज के सन्निकट भुजाओं का निर्माण करते हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$A={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overline{a}\times \overline{b}|$

गणना:

दिया गया है:

माना कि AB = 3i + 4j और CA = 5i +7j + k है।

यदि एक त्रिभुज तीन सदिशों द्वारा निर्मित होता है, तो सदिशों का योग शून्य होना चाहिए।

AB + BC + CA = 0 ⇒ 3i + 4j  + BC + 5i +7j + k = 0

BC = - 8i - 11j - k

माना कि सन्निकट सदिश AB (a), AC (b)  $\overline{a}=3i+4j$ , और $\overline{b}=5i+7j+k$ है।

सर्वप्रथम, हम निम्न रूप में पार गुणनफल की गणना करेंगे:

$\begin{array}{rl}\overline{a}\times \overline{b}& =\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 3& 4& 0\\ 5& 7& 1\end{array}\right|\\ & =i(4-0)-j(3-0)+k(21-20)\\ & =4i-3j+1k\end{array}$

अतः पार गुणनफल का परिमाण निम्न है:

$\begin{array}{rl}|\overline{a}\times \overline{b}|& =\sqrt{16+9+1}\\ & =\sqrt{26}\end{array}$

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$A=\frac{1}{2}|a\times b|=\frac{1}{2}\times \sqrt{26}=\frac{\sqrt{26}}{2}$

संकल्पना:

एक सदिश का कर्ल निम्नलिखित आव्यूह के विस्तार द्वारा दिया जाता है

अगर $\overrightarrow{f}=f_1\hat{i}+f_2\hat{j}+f_3\hat{k}$

फिर

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{f}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ f_1& f_2& f_3\end{array}\right|$

गणना​:

दिया गया सदिश है

$\overrightarrow{u}=yz\hat{i}+3zx\hat{j}+z\hat{k}$

तो $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{u}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ yz& 3zx& z\end{array}\right|$

$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{u}=\hat{i}(\frac{\partial (z)}{\partial y}-\frac{\partial (3zx)}{\partial z})-\hat{j}(\frac{\partial (z)}{\partial x}-\frac{\partial (yz)}{\partial z})+\hat{k}(\frac{\partial (3zx)}{\partial x}-\frac{\partial (yz)}{\partial y})$

संकल्पना:

x - अक्ष के चारों ओर घूर्णन: वक्र y = f(x), x - अक्ष तथा कोटि x = a और x = b द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल के x - अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा उत्पादित ठोस का आयतन निम्न है

$V={\int }_a^b\pi y^{2}dx$

उसीप्रकार y - अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए:

$V=\int \pi x^{2}dy$

गणना:

दिया गया है:

$V=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\pi y^{2}dx$

$V=\frac{3\pi }{2}$

अतः आवश्यक आयतन $\frac{3\pi }{2}$ होगा। 

संकल्पना:

यदि $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$  कोई गैर-शून्य सदिश हैं, तो

$[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]=\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})....(1)$

गणना:

दिया गया है, $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}]$

$=\overrightarrow{a}.[(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})]$

$=\overrightarrow{a}.[\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{c}]$

$=\overrightarrow{a}.[\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}]$

$=[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}]+[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]+[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}]+[\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}]$

$(since[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}]=0)$

$[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]-[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}]$

= 0

अवधारणा:

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

गणना:

दिया हुआ:

$|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=3,|\overrightarrow{c}|=5$

चूँकि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0$

∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=0$

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=0$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=0$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{c}+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=0$

$|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{c}{|}^2+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=0$

$2^2+3^2+5^2+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=0$

$2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=-38$

इसलिए $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=-19$

संकल्पना:

दिए गए सदिश क्षेत्र का अपसरण निम्न है,

$div\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}\dots \left(1\right)$

गणना:

दिया है:

$\overrightarrow{F}=x^{2}z\hat{i}+xy\hat{j}-y{z}^2\hat{k}$

समीकरण (1) का उपयोग करने पर,

$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\left(\hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}\right)\cdot \overrightarrow{F}$

$\Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=2xz+x–2yz$

$\therefore div\overrightarrow{F}at\left(1,-1,1\right)=2+1+2=5$

व्याख्या:

यदि $f$ दोगुने सतत अवकलनीय है, तो इसके द्वितीय अवकलज उस कोटि से स्वतंत्र है जिसमें अवकलज लागू होते हैं। $▽f$ के व्यंजक में सभी पद समाप्त हो जाते हैं, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $▽f=0$ हैcurl⁡∇f=0." id="MathJax-Element-12-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">

• विचलन एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है लेकिन एक अदिश में परिणाम होता है।
• कर्ल एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है और एक सदिश क्षेत्र में परिणाम देता है।
• प्रवणता एक अदिश पर  संचालित होता है लेकिन परिणाम एक सदिश क्षेत्र में होता है ।
• कर्ल का विचलन, प्रवणता का कर्ल हमेशा शून्य होता है।
• इस प्रकार, कर्ल की प्रवणता कर्ल (जो एक सदिश क्षेत्र है) का परिणाम उस प्रवणता को संचालित करने के लिए देता है, जो गणितीय रूप से अमान्य अभिव्यक्ति है। 

अवधारणा:

यदि aî + bĵ + ck̂ and pî + qĵ + rk̂ समचतुर्भुज की दो अलग-अलग भुजाएं हैं तो

मान लीजिये $\overrightarrow{A}=aî+bĵ+ck̂$ और B = $\overrightarrow{B}=pî+qĵ+rk̂$

तब समचतुर्भुज का कोई भी विकर्ण $D_1=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ द्वारा दिया जाता है

दूसरा विकर्ण $D_2=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$ द्वारा दिया गया है

सदिश का परिमाण $A=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

गणना:

दिया गया है:

2î + 4ĵ - 5k̂ और î + 2ĵ + 3k̂ समचतुर्भुज की दो अलग-अलग भुजाएं हैं।

मान लीजिये, $\overrightarrow{A}=2î+4ĵ-5k̂$ और B = $\overrightarrow{B}=1î+2ĵ+3k̂$

तब समचतुर्भुज का कोई भी विकर्ण $D_1=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ द्वारा दिया जाता है

$D_1=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$

D₁ = (2î + 4ĵ - 5k̂) + (1î + 2ĵ + 3k̂)

D₁ = 3î + 6ĵ - 2k̂

सदिश विकर्ण D1 का परिमाण

_{$D_1=\sqrt{3^2+6^2+(-2{)}^2}$}

D₁ = 7 

दूसरा विकर्ण $D_2=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$ द्वारा दिया गया है

$D_2=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$

D2 = (1î + 2ĵ + 3k̂) - (2î + 4ĵ - 5k̂)

D2 = - 1î - 2ĵ + 8k̂

सदिश विकर्ण D2 का परिमाण

$D_1=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2+8^2}$

$D_1=\sqrt{69}$

∴ एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई 7 और $\sqrt{69}$ है

संकल्पना:

सतह की प्रवणता / लंब सदिश / सतह की ढलान / अधिकतम वृद्धि या कमी की दर :

माना कि ϕ(x, y, z) = C किसी भी अदिश बिंदु फलन का प्रतिनिधित्व करता है, फिर इसकी प्रवणता को निम्नप्रकार परिभाषित किया जाता है

$grad\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi =\hat{i}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial \varphi }{\partial z}$ = सामान्य वेक्टर $=\sum \hat{i}\frac{\partial \varphi }{\partial x}$

1) (grad ϕ) की दिशा = लंब सदिश की दिशा = सतह की दिशा

2) अधिकतम वृद्धि की दर = |grad ϕ|

3) इकाई लंब पर ${}^{\prime }{\varphi }^{\prime }=\hat{n}=\frac{grad\varphi }{\left|grad\varphi \right|}$

गणना​:

दिया गया,

सतह S : x2 + y2 + z2 - 48 = 0

हम वह जानते हैं; $grad\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi =\hat{i}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial \varphi }{\partial z}$

∴ ग्रेड (S) = 2x î + 2y ĵ + 2z k̂

बिंदु (4,4,4) पर हम प्राप्त करते हैं:

ग्रेड (S) = 8 + 8 ĵ + 8 k̂

∴ गोले पर इकाई लम्ब होगा:

$\therefore \frac{gradS}{\left|gradS\right|}\Rightarrow \frac{8\hat{i}+8\hat{j}+8\hat{k}}{\sqrt{8^2+8^2+8^2}}$

$=\frac{\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{3}}$

स्पष्टीकरण:

ग्रीन का प्रमेय

• रेखा समाकल को एक दोहरे समाकल में परिवर्तित करता है।
• ग्रीन का प्रमेय xy - समतल में रेखा समाकल को समान xy - समतल में सतह समाकल में रूपांतरित करता है

यदि M और N एक खुले क्षेत्र में परिभाषित किए गए (x, y) के कार्य हैं तो ग्रीन के प्रमेय से

$\oint \left(\mathrm{M}\mathrm{d}\mathrm{x}+\mathrm{N}\mathrm{d}\mathrm{y}\right)=\int \int \left(\frac{\partial \mathrm{N}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{M}}{\partial \mathrm{y}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

Additional Information

स्टोक्स प्रमेय:

$\oint \overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{l}$ = $\iint \left(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}\right).d\overrightarrow{s}$

गॉस अपसरण प्रमेय:

$\oint A.ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.A)dv$

$\oint \overrightarrow{F.}\hat{n}ds=\iiint (\mathrm{\nabla }.F)dv$