Triple Integral MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triple Integral - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

⇒ $I={\iiint }_{R}xyzdxdydz$ R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒ $I={\int }_0^1{\int }_1^2{\int }_2^{3}xyzdzdydx$

⇒$I={\int }_0^{1}xdx{\int }_1^{2}ydy{\int }_2^{3}zdz$

⇒$I=(\frac{x^2}{2}{)}_0^1(\frac{y^2}{2}{)}_1^2(\frac{z^2}{2}{)}_2^3$

हल करने के बाद

⇒I = $\left(\frac{1}{2}\right)\times \left(\frac{3}{2}\right)\times \left(\frac{5}{2}\right)$

⇒${\iiint }_{R}xyzdxdydz=\frac{15}{8}$

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒$m\times n=15\times 8=120$

अतः विकल्प 4 सही है।

व्याख्या:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dydxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dy]dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[(x+y)[y]+\frac{y^2}{2}]}_{x-z}^{x+z}dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dx]dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)+2z^2[x]\}}_0^{z}dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

$\frac{4}{4}[z^4{]}_{-1}^1=0$

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

${\int }_{{\text{x}}_1}^{{\text{x}}_2}{\int }_{{\text{y}}_1}^{{\text{y}}_2}{\int }_{{\text{z}}_1}^{{\text{z}}_2}\text{f}(\text{x},\text{y},\text{z})\text{ dz }\text{ dy }\text{ dx}$

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

${\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^{\text{1}}{\int }_0^{1-\text{x}}\text{x }\text{ dz }\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }{\left|\text{z}\right|}_0^{1-\text{x}}\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }(1-\text{x})\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{|\frac{{\text{x}}^2}{2}-\frac{{\text{x}}^3}{3}|}_{{\text{y}}^2}^1\text{ dy}$

$={\int }_0^1(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{{\text{y}}^4}{2}-\frac{{\text{y}}^6}{3})\text{ dy}$

$=\frac{1}{6}-{|\frac{{\text{y}}^5}{10}-\frac{{\text{y}}^7}{21}|}_0^1$

$=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}$

हल -  ${\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1(xdxdydz)$ की गणना करने पर,

$={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{x^2}{2}{|}_0^{1}dydz$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}y{|}_0^{1}dz$

$=\frac{1}{2}\ast 1{\int }_0^{1}dz=\frac{1}{2}$

अतः सही विकल्प विकल्प 2 है।

व्याख्या:

त्रिविमीय ठोस W पर किसी फलन f(x, y, z) का त्रिशः समाकल इस प्रकार लिखा जाता है:

∫∫∫_W f(x, y, z) dV

जहाँ dV = dx dy dz, xyz-निर्देशांक में एक अवकल आयतन अवयव है और समाकल चिह्न ∫∫∫_W, क्षेत्र W के परितः समाकलन को प्रदर्शित करता है। यह समाकलन f(x, y, z) संपूर्ण क्षेत्र W के आयतन-भारित योग की गणना करता है।

अतः सही उत्तर ∫∫∫_w f. dv है।

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

${\int }_{{\text{x}}_1}^{{\text{x}}_2}{\int }_{{\text{y}}_1}^{{\text{y}}_2}{\int }_{{\text{z}}_1}^{{\text{z}}_2}\text{f}(\text{x},\text{y},\text{z})\text{ dz }\text{ dy }\text{ dx}$

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

${\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^{\text{1}}{\int }_0^{1-\text{x}}\text{x }\text{ dz }\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }{\left|\text{z}\right|}_0^{1-\text{x}}\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }(1-\text{x})\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{|\frac{{\text{x}}^2}{2}-\frac{{\text{x}}^3}{3}|}_{{\text{y}}^2}^1\text{ dy}$

$={\int }_0^1(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{{\text{y}}^4}{2}-\frac{{\text{y}}^6}{3})\text{ dy}$

$=\frac{1}{6}-{|\frac{{\text{y}}^5}{10}-\frac{{\text{y}}^7}{21}|}_0^1$

$=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}$

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}f(x,y,x)dzdydx$

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dzdxdy$

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[xy+\frac{y^2}{2}+zy]}_{x-z}^{z+z}dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[x(x+z-x+z)+\frac{1}{2}((x+z{)}^2-(x-z{)}^2)+z(x+z-x+z)]dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(2xz+2xz+2x^2)dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[\frac{4x^{2}z}{2}+2z^{2}x]}_0^{z}dx$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[2x^{2}z+2z^{2}x]}_0^{z}dz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

⇒ $4{\left[\frac{z^4}{4}\right]}_{-1}^1$

⇒ $\frac{4}{4}[(1{)}^4-(-1{)}^4]$

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dzdxdy=0$

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

${\int }_{{\text{x}}_1}^{{\text{x}}_2}{\int }_{{\text{y}}_1}^{{\text{y}}_2}{\int }_{{\text{z}}_1}^{{\text{z}}_2}\text{f}(\text{x},\text{y},\text{z})\text{ dz }\text{ dy }\text{ dx}$

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

${\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^{\text{1}}{\int }_0^{1-\text{x}}\text{x }\text{ dz }\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }{\left|\text{z}\right|}_0^{1-\text{x}}\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }(1-\text{x})\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{|\frac{{\text{x}}^2}{2}-\frac{{\text{x}}^3}{3}|}_{{\text{y}}^2}^1\text{ dy}$

$={\int }_0^1(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{{\text{y}}^4}{2}-\frac{{\text{y}}^6}{3})\text{ dy}$

$=\frac{1}{6}-{|\frac{{\text{y}}^5}{10}-\frac{{\text{y}}^7}{21}|}_0^1$

$=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}$

व्याख्या:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dydxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dy]dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[(x+y)[y]+\frac{y^2}{2}]}_{x-z}^{x+z}dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dx]dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)+2z^2[x]\}}_0^{z}dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

$\frac{4}{4}[z^4{]}_{-1}^1=0$

हल -  ${\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1(xdxdydz)$ की गणना करने पर,

$={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{x^2}{2}{|}_0^{1}dydz$

$=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}y{|}_0^{1}dz$

$=\frac{1}{2}\ast 1{\int }_0^{1}dz=\frac{1}{2}$

अतः सही विकल्प विकल्प 2 है।

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

$\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\underset{y_1}{\overset{y_2}{\int }}\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}f(x,y,x)dzdydx$

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dzdxdy$

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[xy+\frac{y^2}{2}+zy]}_{x-z}^{z+z}dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[x(x+z-x+z)+\frac{1}{2}((x+z{)}^2-(x-z{)}^2)+z(x+z-x+z)]dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(2xz+2xz+2x^2)dxdz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[\frac{4x^{2}z}{2}+2z^{2}x]}_0^{z}dx$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[2x^{2}z+2z^{2}x]}_0^{z}dz$

⇒ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

⇒ $4{\left[\frac{z^4}{4}\right]}_{-1}^1$

⇒ $\frac{4}{4}[(1{)}^4-(-1{)}^4]$

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dzdxdy=0$

व्याख्या:

त्रिविमीय ठोस W पर किसी फलन f(x, y, z) का त्रिशः समाकल इस प्रकार लिखा जाता है:

∫∫∫_W f(x, y, z) dV

जहाँ dV = dx dy dz, xyz-निर्देशांक में एक अवकल आयतन अवयव है और समाकल चिह्न ∫∫∫_W, क्षेत्र W के परितः समाकलन को प्रदर्शित करता है। यह समाकलन f(x, y, z) संपूर्ण क्षेत्र W के आयतन-भारित योग की गणना करता है।

अतः सही उत्तर ∫∫∫_w f. dv है।

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

${\int }_{{\text{x}}_1}^{{\text{x}}_2}{\int }_{{\text{y}}_1}^{{\text{y}}_2}{\int }_{{\text{z}}_1}^{{\text{z}}_2}\text{f}(\text{x},\text{y},\text{z})\text{ dz }\text{ dy }\text{ dx}$

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

${\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^{\text{1}}{\int }_0^{1-\text{x}}\text{x }\text{ dz }\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }{\left|\text{z}\right|}_0^{1-\text{x}}\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{\int }_{{\text{y}}^2}^1\text{x }(1-\text{x})\text{ dx }\text{ dy}$

$={\int }_0^1{|\frac{{\text{x}}^2}{2}-\frac{{\text{x}}^3}{3}|}_{{\text{y}}^2}^1\text{ dy}$

$={\int }_0^1(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{{\text{y}}^4}{2}-\frac{{\text{y}}^6}{3})\text{ dy}$

$=\frac{1}{6}-{|\frac{{\text{y}}^5}{10}-\frac{{\text{y}}^7}{21}|}_0^1$

$=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}$

व्याख्या:

⇒ $I={\iiint }_{R}xyzdxdydz$ R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒ $I={\int }_0^1{\int }_1^2{\int }_2^{3}xyzdzdydx$

⇒$I={\int }_0^{1}xdx{\int }_1^{2}ydy{\int }_2^{3}zdz$

⇒$I=(\frac{x^2}{2}{)}_0^1(\frac{y^2}{2}{)}_1^2(\frac{z^2}{2}{)}_2^3$

हल करने के बाद

⇒I = $\left(\frac{1}{2}\right)\times \left(\frac{3}{2}\right)\times \left(\frac{5}{2}\right)$

⇒${\iiint }_{R}xyzdxdydz=\frac{15}{8}$

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒$m\times n=15\times 8=120$

अतः विकल्प 4 सही है।

व्याख्या:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dydxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}[\underset{x-z}{\overset{x+z}{\int }}(x+y+z)dy]dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{[(x+y)[y]+\frac{y^2}{2}]}_{x-z}^{x+z}dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dxdz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}[\underset{0}{\overset{z}{\int }}(4xz+2z^2)dx]dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)+2z^2[x]\}}_0^{z}dz$

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4z^{3}dz$

$\frac{4}{4}[z^4{]}_{-1}^1=0$