Trigonometric Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

हल:

दिया गया है:

यदि x, y, और z एक त्रिभुज के कोण हैं और z = 135°

⇒ x + y + z = 180^o

⇒ x + y = 180^o - 135^o

⇒ x + y = 45o

⇒ tan (x + y) = tan (45o)

⇒

⇒ tan x + tan y = 1 - tan x tan y

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,

⇒ 1 + tan x + tan y = 1 - tan x tan y + 1

⇒ 1 + tan x + tan y + tan x tan y = 2

⇒ 1 + tan x + tan y(1 + tan x) = 2

⇒ (1 + tan x) (1+ tan y) = 2

∴ (1 + tan x) (1 + tan y) का मान 2 है। 

गणना:

हम पदों को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

अब, मान प्रतिस्थापित करने पर:

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

p tan (θ - 30°) = q tan (θ + 120°)

⇒ p/q =

=

⇒

=

=

⇒

= 2 cos 2θ

इसलिए, विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

(I) मान लीजिए tan 22.5° = tan 45/2 = t

⇒ tan45° =

=

⇒ 1 = ⇒ t² + 2t -1 = 0

⇒ t =

⇒ tan (प्रथम चतुर्थांश में tan धनात्मक है)

यह एक अपरिमेय संख्या है।

(II) cot22.5° =

यह भी एक अपरिमेय संख्या है

(III) tan22.5° - cot22.5° = -1+ √2 -(1 +√ 2)

= -2

यह एक अपरिमेय संख्या नहीं है

∴ विकल्प (ग) सही है।

अवधारणा:

गुणनफल-से-योग सूत्र:

• गुणनफल-से-योग सूत्र साइन और कोसाइन के गुणनफल को योग के रूप में व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
• साइन के लिए, सूत्र निम्नवत है:

गणना:

⇒ sin12° . sin48° =

=

=

∴ विकल्प (c) सही है। 

धारणा:

cosec² x – cot² x = 1

गणना:

दिया हुआ: p = cosec θ – cot θ और q = (cosec θ + cot θ)^-1

⇒ cosec θ + cot θ = 1/q

जैसा कि हम जानते हैं कि,, cosec² x – cot² x = 1

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ – cot θ) = 1

⇒ p = q

धारणा:

sin² x + cos² x = 1

गणना:

दिया हुआ: sin θ + cos θ = 7/5 

उपर्युक्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है

⇒ (sin θ + cos θ)² = 49/25

⇒ sin² θ + cos² θ+ 2sin θ.cos θ = 49/25

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin2 x + cos2 x = 1

⇒ 1 + 2sin θcos θ = 49/25

⇒ 2sin θcos θ = 24/25

∴ sin θcos θ = 12/25

अवधारणा:

I. sec² θ – tan² θ = 1

II. a² – b² = (a - b) (a + b)

गणना:

दिया गया है:

tan θ + sec θ = 4     ...(1)

जैसा कि हम जानते हैं कि, sec² θ – tan² θ = 1

⇒ sec² θ – tan² θ = 1

⇒ (sec θ – tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

उपरोक्त समीकरण में tan θ + sec θ = 4 का मान रखने पर हमे प्राप्त होगा

⇒ sec θ – tan θ = 1/4     ... (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमे प्राप्त होगा-

⇒ 2 sec θ = 17/4

⇒ sec θ = 17/8 ⇒ cos θ = 8/17

Mistake Points

यह tan θ है जो 15/8 के बराबर है। उपरोक्त दो समीकरण जिन्हें हमने हल किया था:

tan θ + sec θ = 4

sec θ – tan θ = 1/4

संकल्पना:

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec2 x - tan2 x = 1

गणना:

sec4 x - tan4 x

=(sec2 x - tan2 x) (sec2 x + tan2 x)          (∵ a2 - b2 = (a - b) (a + b))

= 1 × (1 + tan2 x + tan2 x)                                          (∵ sec2 x - tan2 x = 1)

= 1 + 2tan² x

प्रयुक्त सूत्र

sin2A + cos2A = 1

1/sin A = cosec A

1/cos A = sec A

गणना

⇒ sin A (cos A + sin A)/cos A + cos A(sin A + cos A)/sin A

⇒ (sin A + cos A) [(sin A/cos A) + (cos A/sin A)]

⇒ (sin A + cos A) [(sin²A + cos²A)/(cos A. sin A)]

⇒ (sin A + cos A) [1/(cos A. sin A)]

⇒  

⇒ 1/sin A + 1/cos A

⇒ sec A + Cosec A

उत्तर sec A + Cosec A है।

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय सूत्र

sec² θ = 1 + tan² θ

cosec2 θ = 1 + cot2 θ

cot θ = 

sec θ = 

cosec θ = 

गणना:

= tan² θ - (-tan θ)²

= tan2 θ - tan2 θ 

= 0

दिया गया है:

 + 2sinθ cosθ 

सूत्र:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

sin²θ + cos²θ = 1

गणना:

 + 2sinθ cosθ 

⇒  × sin²θ +  × cos²θ + 2sinθ cosθ 

⇒  +  + 2sinθ cosθ

⇒  

⇒  = 

⇒  = cosecθ secθ ( = cosecθ,  = secθ) 

∴  + 2sinθ cosθ = cosecθ.secθ

अवधारणा:

• cosec x = 1/sin x
• cot x = cos x/ sin x
• cos² x + sin²x= 1

गणना:

यहाँ, हमें का मूल्य ज्ञात करना है

अभिव्यक्ति  का परिमेयीकरण करके हमें मिलता है

∴ cosec x + cot x

संकल्पना:

sec2 x - tan2 x = 1

गणना:

दिया गया है sec x + tan x = 2     ....(i)

∵ sec² x - tan² x = 1

(sec x + tan x)(sec x - tan x) = 1

2(sec x - tan x) = 1

sec x - tan x =               ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर 

2 sec x = 2 + 

cos x = 

दिया गया है:

√3 - 3√3tan2 A = 3tan A - tan3 A

प्रयुक्त सूत्र:

tan 3A = (3tan A - tan3A)/(1 - 3tan²A)

गणना:

√3 - 3√3tan2A = 3tan A - tan3A

⇒ √3(1 - 3tan2A) = 3tan A - tan3A

⇒ √3 = (3tan A - tan3A)/(1 - 3tan2A)

⇒ √3 = tan 3A 

⇒ tan 60° = tan 3A

⇒ 3A = 60° 

⇒ A = 60°/3 = 20° 

∴  A का मान 20° है।​