Total Derivatives MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Total Derivatives - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

कुल अवकलज $\frac{du}{dx}$ निम्न द्वारा दिया जाता है:

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dx}$

गणना:

u = log xy    जहाँ, x2 + y2 = 1

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{xy}=\frac{1}{y}$

x2 + y2 = 1

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dx}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}(\frac{-x}{y})$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{x}{y^2}$

अवधारणा  -

न्यूनटन का अग्रांतर​ सूत्र:

x = x0 (जहां x0 सारणी में पहला मान है, अर्थात x = 1) पर पहले अवकलज के लिए न्यूटन का अग्रांतर सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }{f}_0-\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{f}_0+\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}^3{f}_0-\cdots )$

जहाँ h, x-मानों के बीच का अंतराल है (यहाँ h = 1)

व्याख्या -

दिया गया है: सारणी 

$\begin{array}{cc}x& f(x)\\ 1& 20\\ 2& 22\\ 3& 27\\ 4& 35\end{array}$

अग्रांतर सूत्र:

आइए अग्रांतर $\mathrm{\Delta }f$ की गणना करते हैं:

$\begin{array}{ccccc}x& f(x)& \mathrm{\Delta }f& {\mathrm{\Delta }}^{2}f& {\mathrm{\Delta }}^{3}f\\ 1& 20& 2& 3& 3\\ 2& 22& 5& 6& \\ 3& 27& 8& & \\ 4& 35& & & \end{array}$

$f^{\prime }(4)\approx \frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }{f}_3+\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{f}_2+\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}^3{f}_1)$

चरण-दर-चरण हल:

1. $\mathrm{\Delta }f$ की गणना:

$\mathrm{\Delta }{f}_1=f(2)-f(1)=22-20=2$

$\mathrm{\Delta }{f}_2=f(3)-f(2)=27-22=5$

$\mathrm{\Delta }{f}_3=f(4)-f(3)=35-27=8$

2. ${\mathrm{\Delta }}^{2}f$ की गणना:

${\mathrm{\Delta }}^2{f}_1=\mathrm{\Delta }{f}_2-\mathrm{\Delta }{f}_1=5-2=3$

${\mathrm{\Delta }}^2{f}_2=\mathrm{\Delta }{f}_3-\mathrm{\Delta }{f}_2=8-5=3$

3. ${\mathrm{\Delta }}^{3}f$ की गणना:

${\mathrm{\Delta }}^3{f}_1={\mathrm{\Delta }}^2{f}_2-{\mathrm{\Delta }}^2{f}_1=3-3=0$

f'(4) के लिए सूत्र को लागू करने पर और चूंकि h = 1 है:

$f^{\prime }(4)\approx \frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }{f}_3+\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{f}_2+\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}^3{f}_1)$

⇒ $f^{\prime }(4)\approx 1(8+\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{3}\times 0)$

⇒$f^{\prime }(4)\approx 8+1.5+0$

⇒ f'(4) ≈  9.5

इसलिए, न्यूटन के अग्रांतर सूत्र का उपयोग करके x = 4 पर f'(x) का मान लगभग 9.5 है।

संकल्पना:

यदि z = f(x, y)

तो z में परिवर्तन (कुल अंतर) निम्न होता है

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

गणना:

दिया हुआ:

z = xy
फिर कुल अंतर है

$dz=\frac{\partial (xy)}{\partial x}dx+\frac{\partial (xy)}{\partial y}dy$

z = ydx + xdy

संकल्पना:

यदि z = f(x, y)

तो z में परिवर्तन (कुल अंतर) निम्न होता है

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

गणना:

दिया हुआ:

z = xy
फिर कुल अंतर है

$dz=\frac{\partial (xy)}{\partial x}dx+\frac{\partial (xy)}{\partial y}dy$

z = ydx + xdy

अवधारणा:

कुल अवकलज $\frac{du}{dx}$ निम्न द्वारा दिया जाता है:

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dx}$

गणना:

u = log xy    जहाँ, x2 + y2 = 1

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{xy}=\frac{1}{y}$

x2 + y2 = 1

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dx}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}(\frac{-x}{y})$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{x}{y^2}$

संकल्पना:

यदि z = f(x, y)

तो z में परिवर्तन (कुल अंतर) निम्न होता है

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

गणना:

दिया हुआ:

z = xy
फिर कुल अंतर है

$dz=\frac{\partial (xy)}{\partial x}dx+\frac{\partial (xy)}{\partial y}dy$

z = ydx + xdy

अवधारणा:

कुल अवकलज $\frac{du}{dx}$ निम्न द्वारा दिया जाता है:

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dx}$

गणना:

u = log xy    जहाँ, x2 + y2 = 1

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{xy}=\frac{1}{y}$

x2 + y2 = 1

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$

$\frac{du}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dx}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}(\frac{-x}{y})$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{x}{y^2}$

अवधारणा  -

न्यूनटन का अग्रांतर​ सूत्र:

x = x0 (जहां x0 सारणी में पहला मान है, अर्थात x = 1) पर पहले अवकलज के लिए न्यूटन का अग्रांतर सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }{f}_0-\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{f}_0+\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}^3{f}_0-\cdots )$

जहाँ h, x-मानों के बीच का अंतराल है (यहाँ h = 1)

व्याख्या -

दिया गया है: सारणी 

$\begin{array}{cc}x& f(x)\\ 1& 20\\ 2& 22\\ 3& 27\\ 4& 35\end{array}$

अग्रांतर सूत्र:

आइए अग्रांतर $\mathrm{\Delta }f$ की गणना करते हैं:

$\begin{array}{ccccc}x& f(x)& \mathrm{\Delta }f& {\mathrm{\Delta }}^{2}f& {\mathrm{\Delta }}^{3}f\\ 1& 20& 2& 3& 3\\ 2& 22& 5& 6& \\ 3& 27& 8& & \\ 4& 35& & & \end{array}$

$f^{\prime }(4)\approx \frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }{f}_3+\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{f}_2+\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}^3{f}_1)$

चरण-दर-चरण हल:

1. $\mathrm{\Delta }f$ की गणना:

$\mathrm{\Delta }{f}_1=f(2)-f(1)=22-20=2$

$\mathrm{\Delta }{f}_2=f(3)-f(2)=27-22=5$

$\mathrm{\Delta }{f}_3=f(4)-f(3)=35-27=8$

2. ${\mathrm{\Delta }}^{2}f$ की गणना:

${\mathrm{\Delta }}^2{f}_1=\mathrm{\Delta }{f}_2-\mathrm{\Delta }{f}_1=5-2=3$

${\mathrm{\Delta }}^2{f}_2=\mathrm{\Delta }{f}_3-\mathrm{\Delta }{f}_2=8-5=3$

3. ${\mathrm{\Delta }}^{3}f$ की गणना:

${\mathrm{\Delta }}^3{f}_1={\mathrm{\Delta }}^2{f}_2-{\mathrm{\Delta }}^2{f}_1=3-3=0$

f'(4) के लिए सूत्र को लागू करने पर और चूंकि h = 1 है:

$f^{\prime }(4)\approx \frac{1}{h}(\mathrm{\Delta }{f}_3+\frac{1}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{f}_2+\frac{1}{3}{\mathrm{\Delta }}^3{f}_1)$

⇒ $f^{\prime }(4)\approx 1(8+\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{3}\times 0)$

⇒$f^{\prime }(4)\approx 8+1.5+0$

⇒ f'(4) ≈  9.5

इसलिए, न्यूटन के अग्रांतर सूत्र का उपयोग करके x = 4 पर f'(x) का मान लगभग 9.5 है।