Time Domain Specifications MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Time Domain Specifications - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

$C\left(s\right)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{{\left(s+1\right)}^2}$

$C\left(s\right)=\frac{1}{\left(s^2+2s+1\right)}\times \frac{1}{s}$

$C\left(s\right)=\frac{1}{s{\left(s+1\right)}^2}$

$C\left(s\right)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{{\left(s+1\right)}^2}$

A = 1

B = -1

C = -1

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{t}}C\left(t\right)=1-e^{-\mathrm{\infty }}-t{e}^{-\mathrm{\infty }}$

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन लागू करना:

C(t) = 1 – e-t – te-t

स्थिर अवस्था में अर्थात t → ∞ पर

$\Rightarrow 1-\left(\frac{1+5.25}{e^{5.25}}\right)$

C(t) = 1

स्थिर अवस्था का 94% $=\frac{94}{100}\times 1$

= 0.94.

0.94 = 1 – e-t – te-t

सभी विकल्पों को प्रतिस्थापित करने पर

आइए हम विकल्पों को प्रतिस्थापित करने पर

विकल्प  (a) t= 5.25

1 – e-5.25 – 5.25 e-5.25

$1-\frac{\left(1+4.50\right)}{(e^{4.50})}$

= 0.967

विकल्प  (b)

t = 4.50

$1-\frac{\left(1+4.50\right)}{(e^{4.50})}$

1 – 0.938

संकल्पना

द्वितीय कोटि के स्थानांतरण फलन को निम्न के द्वारा प्रदर्शित किया गया है:

$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

जहाँ, ω_n = स्वाभाविक आवृत्ति 

ζ = अवमंदन अनुपात 

अवमंदन अनुपात के संबंध में अवमंदन की प्रकृति निम्नानुसार होगी:

गणना

दिया गया है, $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{20}{s^2+8s+20}$

${\omega }_n^2=20$

ω_n =4.472 rad/s

2ζω_n = 8

$\zeta =\frac{8}{2\times 4.472}$

ζ = 0.894

इसलिए, यह प्रणाली न्यून अवमंदित है।​

सही उत्तर विकल्प 1):(निम्न-अवमंदित) है।

संकल्पना:

• मानक द्वितीय-क्रम प्रणाली की अभिलक्षणिक समीकरण निम्न द्वारा दी गई है;
• s² + 2ξ ω_n s + ω²_n = 0
• प्रणाली में यदि ξ = 0 अ-अवमंदित है, यदि ξ = 1 क्रान्तिक अवमंदित है और यदि ξ <1 निम्न-अवमंदित है, तो ξ > 1 को अति-अवमंदित कहा जाता है।
• अवमंदन अनुपात ζ (जीटा) 0 < ζ < 1 के बीच में स्थित होता है, तब परिपथ वर्गीकरण निम्न-अवमंदन के अंतर्गत आता है।

अवधारणा:

एक द्वितीयक क्रम प्रणाली की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति को निम्न द्वारा दिया जाता है

${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$

जहाँ,

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

ζ = अवमंदन अनुपात

गणना:

दिया हुआ-

ωn = 11 rad/sec

ζ = 0.6

अब, प्राकृतिक अवमंदित आवृत्ति की गणना इस प्रकार की जा सकती है

${\omega }_d=11\sqrt{1-(0.6{)}^2}$

ωd = 11 x 0.8

ωd = 8.8 rad/sec 

संकल्पना:

नियंत्रण प्रणाली की प्रकृति को अवमंदन अनुपात के मान के आधार पर परिभाषित किया जाता है।

संकल्पना:

मानक द्वितीय क्रम प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

$TF=\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

विशेषता समीकरण: $s^2+2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2=0$

ζ अवमंदन अनुपात है

ωn अनवमंदन प्राकृतिक आवृत्ति है

$M_p=e^{\frac{-\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}$ ----(1)

गणना:

दिया गया है:

Mp = 100%

उपरोक्त समीकरण से,

$M_p=e^{\frac{-\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}$

$ln1=\frac{-\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$ ; (1 = 0 में)

तो, ζ = 0

ध्यान दें:

Mp बंद-लूप अंतरण फलन का अधिकतम शिखर अतिलंघन है

$M_p\alpha \frac{1}{\zeta }$

संकल्पना:

प्रथम-कोटि प्रणाली​:

मानक प्रथम-कोटि प्रणाली का अंतरण फलन निम्न द्वारा दिया जाता है

$TF=\frac{k}{\left(1+\tau s\right)}$

जहाँ,

τ = प्रणाली का समय स्थिरांक

समय स्थिरांक को प्रणाली के ध्रुव के ऋणात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

गणना:

दिए गए चित्र से,

$\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{\frac{3K}{2s+1}}{1+\frac{3K}{2s+1}}$

$=\frac{3K}{2s+3K+1}$

$=\frac{3K}{3K+1}\times \frac{1}{1+\frac{2s}{3K+1}}$

उपरोक्त अंतरण फलन से, समय स्थिरांक निम्न है

$T=\frac{2}{3K+1}$

प्रणाली का समय स्थिरांक 0.2 से कम है

$\Rightarrow \frac{2}{3K+1}<0.2$

⇒ K > 3   

संकल्पना:

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली के स्थानांतरण फलन की सामान्य अभिव्यक्ति निम्न है:

$TF=\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

जहाँ

ζ अवमंदन अनुपात है

ωn गैर-अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति है

विशेषता समीकरण: $s^2+2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2=0$

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं

 $-\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}=-\alpha \pm j{\omega }_d$

α अवमंदन कारक है

गणना:

दिया गया विशेषता समीकरण s2 + 6s + 25 = 0

दूसरी कोटि के नियंत्रण प्रणाली के स्थानांतरण फलन की सामान्य अभिव्यक्ति के साथ इसकी तुलना करते हुए, हम लिख सकते हैं:

2 ζ ω_n = 6

⇒ ζ ω_n = 3

Additional Information

प्रणाली की प्रकृति उसके ‘ζ’ मूल्य द्वारा वर्णित है

• एक ऋणात्मक बंद-पाश के लिए स्थानांतरण फलन निम्न द्वारा दिया गया है:

$T.F.=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

जहाँ G(s) = अग्रगामी पथ लब्धि

H(s) = पुनर्निवेश पथ लब्धि

• फीडबैक पथ की उपस्थिति के कारण, स्थानांतरण फलन की लब्धि कम हो जाती है।
• चूंकि लब्धि-बैंडविड्थ गुणनफल स्थिर होना चाहिए, इसलिए लब्धि के घटते मान के लिए बैंडविड्थ बढ़ जाती है।
• चूंकि फीडबैक के उपयोग से प्रणाली की क्षणिक अनुक्रिया में सुधार होता है और यह स्थिरण के समय को कम करने का कारण बनता है और बंद-पाश प्रणाली में खुला-पाश प्रणाली की तुलना में अधिक बैंडविड्थ होती है और इसका अर्थ है अनुक्रिया की गति में वृद्धि।

गणना:

द्वितीय कोटि का स्थानांतरण फलन निम्न के द्वारा दिया जाता है:

$H(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

जहाँ, ωn = प्राकृत आवृत्ति

ζ = अवमंदन कारक

गणना:

दिया गया है, $H(s)=\frac{25}{s^2+8s+25}$

ωn2 = 25

ωn = 5

2ζωn = 8

$\zeta =\frac{8}{2\times {\omega }_n}$

$\zeta =\frac{8}{2\times 5}$

ζ = 0.8

अवधारणा:

काल-क्षेत्र विनिर्देश (या) क्षणिक प्रतिक्रिया परिमाप:

शिखर काल (tp): यह अधिकतम मान तक पहुंचने के लिए प्रतिक्रिया द्वारा लिया गया समय है।

${\frac{dc\left(t\right)}{dt}|}_{t=t_p}=0,t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$

$As{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$

$=\frac{\pi }{{\omega }_n\surd 1-{\zeta }^2}$

जहाँ,

ξ = अवमंदन अनुपात

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

ωd = अवमन्दित आवृत्ति

गणना:

दिया हुआ है कि:

ωn = 13 rad/sec

ξ = 0.8

${\omega }_d=13\sqrt{1-{0.8}^2}$

ωd = 7.8 rad/sec

$t_p=\frac{\pi }{7.8}=0.4sec$

इसलिए विकल्प (4) सही उत्तर है।

संकल्पना:

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

$TF=\frac{C\left(s\right)}{R\left(s\right)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

ζ अवमंदन अनुपात है 

ωn प्राकृतिक आवृत्ति है। 

विशेषता समीकरण: $s^2+2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2$

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं: $-\zeta {\omega }_n+j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}=-\alpha \pm j{\omega }_d$

α अवमंदन गुणक है। 

स्थायीकरण समय (Ts): यह ± 2% सहिष्णुता बंध तक पहुंचने के लिए प्रतिक्रिया द्वारा लिया गया समय होता है, जैसा उपरोक्त आकृति में दर्शाया गया है। 

$e^{-\xi {\omega }_n{t}_s}=\pm 5\mathrm{\%}\left(or\right)\pm 2\mathrm{\%}$

5% सहिष्णुता बंध के लिए $t_s\simeq \frac{3}{\xi {\omega }_n}$

2% सहिष्णुता बंध के लिए $t_s\simeq \frac{4}{\xi {\omega }_n}$

गणना:

$G(s)=\frac{4}{s^2+0.4s}$

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली के साथ उपरोक्त स्थानांतरण फलन की तुलना करने पर,

${\omega }_n^2=4\Rightarrow {\omega }_n=2$

⇒ 2ζωn = 0.4 ⇒ ζ = 0.1

चूँकि अवमंदन अनुपात एकल से कम है, इसलिए प्रणाली अधःअवमंदित है। 

स्थायीकरण समय, $t_s=\frac{4}{\zeta {\omega }_n}=\frac{4}{0.1\times 2}=20sec$

अवधारणा:

अवमंदन अनुपात (ζ = c/cc) एक प्रणाली पैरामीटर है, जो गंभीर रूप से अवमन्दित (ζ = 1) से अधिक अवमन्दित (ζ > 1) के माध्यम से गैर-अवमन्दित (ζ = 0), न्यून अवमन्दित (ζ < 1) से परिवर्तनीय हो सकता है।

अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1

यह अनावर्ती गति का समीकरण है अर्थात प्रणाली अति-अवमंदन के कारण कंपन नहीं कर सकती है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य की ओर बढ़ता है।

अल्पअवमन्दित:​ ζ < 1

यह परिणामी गति ωd की आवृत्ति वाले घटते आयामों के साथ दोलनशील होती है। अंतत: समय के साथ गति समाप्त हो जाती है।

क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1

विस्थापन न्यूनतम संभव समय के साथ शून्य की ओर बढ़ेगा।