Subgroup MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Subgroup - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:
प्रश्न अरिक्त समुच्चय A, B, C $\Rightarrow 4^3$ – (कोई भी समुच्चय जो रिक्त है) के बारे में है
$A=\varphi$ पर विचार करें
सार्वत्रिक समुच्चय $=\{2,3,5\}$ में 3 अवयव हैं $\Rightarrow Bhas{2}^3$ संभावित विकल्प हैं, और प्रत्येक संभावित B समुच्चय के लिए, हमें C के संभावित समुच्चयों की गणना करने की आवश्यकता है। चूँकि $B\subseteq C$ , B में उपस्थित अवयव, C में भी उपस्थित होने चाहिए। सार्वत्रिक समुच्चय के शेष अवयवों के पास दो विकल्प हैं; C में उपस्थित या C में उपस्थित नहीं होना।

$ifB=\varphi$ (B में अवयवों की संख्या = 0) $\Rightarrow$ $C=2^{n-0}=2^3$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {1}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 1) $\Rightarrow$ $C=2^{n-1}=2^2$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {2}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 1) $\Rightarrow$ $C=2^{n-1}=2^2$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {3}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 1) $\Rightarrow$ $C=2^{n-1}=2^2$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {1, 2}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 2) $\Rightarrow$ $C=2^{n-2}=2^1$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {1, 3}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 2) $\Rightarrow$ $C=2^{n-2}=2^1$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या

$\mathbf{\text{if }}B=\{2,3\}$ (B में अवयवों की संख्या = 2) $\Rightarrow$ $C=2^{n-2}=2^1$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if }}B=\{1,2,3\}$ (B में अवयवों की संख्या = 3)} $\Rightarrow$ $C=2^{n-3}=2^0$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
∴ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})\cdot 2^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})\cdot 2^{n-1}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\cdot 2^{n-r}\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})\cdot 2^0=(1+2{)}^n=3^n=3^3=27$
$\therefore \text{when }A=\varphi ,\text{ possible sets of B and C are 27}$
अंतिम उत्तर = $4^3-3^3=37$

दिया गया है:

यदि G, p का सम क्रम समूह है

प्रयुक्त अवधारणा:

लैग्रेंज प्रमेय:

उपसमूहों का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है, लेकिन यदि कुछ m समूह के क्रम को विभाजित करते हैं, तो इसका अर्थ यह नहीं है कि समूह में क्रम का उपसमूह है।

उचित उपसमूह :  H ≠ e और H ≠ G, G का उपसमूह है

गणना:

G, p का एक सम क्रम समूह है

इसलिए, इसमें केवल 2 भाजक 1 और स्वयं है जो समूह के क्रम को विभाजित करता है

⇒ 1 और p द्वारा केवल 2 उपसमूह उत्पन्न होते हैं

⇒ <1> = G और

= {e} जहां e तत्समक है

∴ विकल्प 1 सही है, कोई उचित उपसमूह नहीं है

दिया गया है:

Z₆ के अनुचित उपसमूहों की संख्या है

प्रयुक्त अवधारणा:

अनुचित उपसमूह का अर्थ है उपसमूह ही स्वयं समूह और {e} यानी अकेले पहचान का समूह है

Z_n का उचित उपसमूह = उपसमूह जो अनुचित नहीं हैं

Z_n के उपसमूहों की संख्या = n के भाजकों की संख्या 

गणना: 

6 के भाजकों की संख्या = 1, 2, 3, 6 

कुल उपसमूह 4 ​​है

लेकिन एक उपसमूह उस समूह के बराबर है जो <1> द्वारा उत्पन्न अनुचित उपसमूह है = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

और {e} यानी अकेले पहचान का समूह

∴ Z₆ के उचित उपसमूह की कुल संख्या = 2

संकल्पना: 

उपसमूह​:- समूह G के एक अरिक्त उपसमुच्चय H को G का उपसमूह कहा जाता है यदि H स्वयं उसी संक्रिया के संबंध में एक समूह है जिसे G के लिए परिभाषित किया गया है।

सम्मिलन:- दो या दो से अधिक समुच्चयों का सम्मिलन वह समुच्चय होता है जिसमें दिए गए समुच्चयों के सभी अवयव होते हैं।

गणना:

माना G = (Z, +) एक समूह हो। 

⇒ H₁ = {0, ±2, ±4, ±6, ....}

⇒ H₂ = {0, ±3, ±6, ±9, ....}

⇒ H₁ U H₂ = {0, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±9,....}

⇒ 2, 3 ∈ H₁ U H₂

⇒ लेकिन, 2 + 3 = 5 ∉ H₁ U H₂

⇒ संवरक गुणधर्म H1 U H2 में होल्ड नहीं होती है।

∴ (H1 ∪ H2, +),  (Z, +) का उपसमूह नहीं है। 

Concept -

For a group $G$ to be the internal direct product of two subgroups $H$ and $K$, certain conditions must be satisfied:

• $H\cap K=\{e\}$, where $e$ is the identity element of $G$. This implies that $H$ and $K$ intersect trivially.
• $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Being normal means that each subgroup is invariant under conjugation by elements of $G$.
• Every element of $G$ can be uniquely expressed as a product of an element from $H$ and an element from $K$, which is denoted by $HK=G$.

Given these conditions, the statement that is not true when asserting that $G$ is the internal direct product of $H$ and $K$ is:

Option 4: $H\cup K=G$. The union of $H$ and $K$ does not necessarily cover all elements in $G$ unless every element of $G$ can be expressed as either an element of $H$ or $K$, which is not a requirement for the internal direct product. The correct condition is $HK=G$, meaning every element of $G$ is a product of elements from $H$ and $K$, not merely their set union.

Solution Statement -

The correct answer is option 4 because the union of two subgroups $H$ and $K$ does not ensure that every element of the group $G$ can be represented as a product of elements from $H$ and $K$. For $G$ to be the internal direct product of $H$ and $K$, it is essential that $HK=G$ and that $H$ and $K$ intersect trivially and are both normal in $G$.

संकल्पना

उपसमूहों के लैगरेंज प्रमेय के अनुसार समूह के क्रम को विभाजित करना चाहिए।

समूह का गुण बताता है कि यदि किसी समूह के पास मुख्य क्रम है तो वह चक्रीय है।

स्पष्टीकरण:

चूंकि G का क्रम 6 है। इसलिए इसके उपसमूह का क्रम 1,2,3,6 हो सकता है

H स्थिति 1< |H| <6 के साथ इसके उपसमूहों में से एक है  इसलिए H क्रम 2 या 3 का हो सकता है जो कि मुख्य है

इसलिए H को चक्रीय होना चाहिए

G का क्रम 6 है जो अभाज्य नहीं है और इसलिए यह चक्रीय हो भी सकता है और नहीं भी

इसलिए विकल्प 2 सही है

संकल्पना: 

उपसमूह​:- समूह G के एक अरिक्त उपसमुच्चय H को G का उपसमूह कहा जाता है यदि H स्वयं उसी संक्रिया के संबंध में एक समूह है जिसे G के लिए परिभाषित किया गया है।

सम्मिलन:- दो या दो से अधिक समुच्चयों का सम्मिलन वह समुच्चय होता है जिसमें दिए गए समुच्चयों के सभी अवयव होते हैं।

गणना:

माना G = (Z, +) एक समूह हो। 

⇒ H₁ = {0, ±2, ±4, ±6, ....}

⇒ H₂ = {0, ±3, ±6, ±9, ....}

⇒ H₁ U H₂ = {0, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±9,....}

⇒ 2, 3 ∈ H₁ U H₂

⇒ लेकिन, 2 + 3 = 5 ∉ H₁ U H₂

⇒ संवरक गुणधर्म H1 U H2 में होल्ड नहीं होती है।

∴ (H1 ∪ H2, +),  (Z, +) का उपसमूह नहीं है। 

स्पष्टीकरण:
प्रश्न अरिक्त समुच्चय A, B, C $\Rightarrow 4^3$ – (कोई भी समुच्चय जो रिक्त है) के बारे में है
$A=\varphi$ पर विचार करें
सार्वत्रिक समुच्चय $=\{2,3,5\}$ में 3 अवयव हैं $\Rightarrow Bhas{2}^3$ संभावित विकल्प हैं, और प्रत्येक संभावित B समुच्चय के लिए, हमें C के संभावित समुच्चयों की गणना करने की आवश्यकता है। चूँकि $B\subseteq C$ , B में उपस्थित अवयव, C में भी उपस्थित होने चाहिए। सार्वत्रिक समुच्चय के शेष अवयवों के पास दो विकल्प हैं; C में उपस्थित या C में उपस्थित नहीं होना।

$ifB=\varphi$ (B में अवयवों की संख्या = 0) $\Rightarrow$ $C=2^{n-0}=2^3$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {1}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 1) $\Rightarrow$ $C=2^{n-1}=2^2$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {2}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 1) $\Rightarrow$ $C=2^{n-1}=2^2$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {3}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 1) $\Rightarrow$ $C=2^{n-1}=2^2$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {1, 2}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 2) $\Rightarrow$ $C=2^{n-2}=2^1$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if B = {1, 3}}}$ (B में अवयवों की संख्या = 2) $\Rightarrow$ $C=2^{n-2}=2^1$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या

$\mathbf{\text{if }}B=\{2,3\}$ (B में अवयवों की संख्या = 2) $\Rightarrow$ $C=2^{n-2}=2^1$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
$\mathbf{\text{if }}B=\{1,2,3\}$ (B में अवयवों की संख्या = 3)} $\Rightarrow$ $C=2^{n-3}=2^0$ के लिए संभावित समुच्चयों की संख्या
∴ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})\cdot 2^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})\cdot 2^{n-1}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})\cdot 2^{n-r}\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})\cdot 2^0=(1+2{)}^n=3^n=3^3=27$
$\therefore \text{when }A=\varphi ,\text{ possible sets of B and C are 27}$
अंतिम उत्तर = $4^3-3^3=37$

संकल्पना

उपसमूहों के लैगरेंज प्रमेय के अनुसार समूह के क्रम को विभाजित करना चाहिए।

समूह का गुण बताता है कि यदि किसी समूह के पास मुख्य क्रम है तो वह चक्रीय है।

स्पष्टीकरण:

चूंकि G का क्रम 6 है। इसलिए इसके उपसमूह का क्रम 1,2,3,6 हो सकता है

H स्थिति 1< |H| <6 के साथ इसके उपसमूहों में से एक है  इसलिए H क्रम 2 या 3 का हो सकता है जो कि मुख्य है

इसलिए H को चक्रीय होना चाहिए

G का क्रम 6 है जो अभाज्य नहीं है और इसलिए यह चक्रीय हो भी सकता है और नहीं भी

इसलिए विकल्प 2 सही है

लैग्रेंज का प्रमेय निर्दिष्ट करता है: उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को विभाजित करती है

समूह की कोटि = समूह में तत्वों की संख्या = 11077

H एक उचित उपसमूह है

H ⊆ K और H ≠ K

19 और 53, 11077 के भाजक हैं

H का आकार 19 या 53 हो सकता है

दिया गया है:

Z₆ के अनुचित उपसमूहों की संख्या है

प्रयुक्त अवधारणा:

अनुचित उपसमूह का अर्थ है उपसमूह ही स्वयं समूह और {e} यानी अकेले पहचान का समूह है

Z_n का उचित उपसमूह = उपसमूह जो अनुचित नहीं हैं

Z_n के उपसमूहों की संख्या = n के भाजकों की संख्या 

गणना: 

6 के भाजकों की संख्या = 1, 2, 3, 6 

कुल उपसमूह 4 ​​है

लेकिन एक उपसमूह उस समूह के बराबर है जो <1> द्वारा उत्पन्न अनुचित उपसमूह है = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

और {e} यानी अकेले पहचान का समूह

∴ Z₆ के उचित उपसमूह की कुल संख्या = 2

संकल्पना: 

उपसमूह​:- समूह G के एक अरिक्त उपसमुच्चय H को G का उपसमूह कहा जाता है यदि H स्वयं उसी संक्रिया के संबंध में एक समूह है जिसे G के लिए परिभाषित किया गया है।

सम्मिलन:- दो या दो से अधिक समुच्चयों का सम्मिलन वह समुच्चय होता है जिसमें दिए गए समुच्चयों के सभी अवयव होते हैं।

गणना:

माना G = (Z, +) एक समूह हो। 

⇒ H₁ = {0, ±2, ±4, ±6, ....}

⇒ H₂ = {0, ±3, ±6, ±9, ....}

⇒ H₁ U H₂ = {0, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±9,....}

⇒ 2, 3 ∈ H₁ U H₂

⇒ लेकिन, 2 + 3 = 5 ∉ H₁ U H₂

⇒ संवरक गुणधर्म H1 U H2 में होल्ड नहीं होती है।

∴ (H1 ∪ H2, +),  (Z, +) का उपसमूह नहीं है। 

दिया गया है:

यदि G, p का सम क्रम समूह है

प्रयुक्त अवधारणा:

लैग्रेंज प्रमेय:

उपसमूहों का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है, लेकिन यदि कुछ m समूह के क्रम को विभाजित करते हैं, तो इसका अर्थ यह नहीं है कि समूह में क्रम का उपसमूह है।

उचित उपसमूह :  H ≠ e और H ≠ G, G का उपसमूह है

गणना:

G, p का एक सम क्रम समूह है

इसलिए, इसमें केवल 2 भाजक 1 और स्वयं है जो समूह के क्रम को विभाजित करता है

⇒ 1 और p द्वारा केवल 2 उपसमूह उत्पन्न होते हैं

⇒ <1> = G और

= {e} जहां e तत्समक है

∴ विकल्प 1 सही है, कोई उचित उपसमूह नहीं है

लैग्रेंज का प्रमेय निर्दिष्ट करता है: उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को विभाजित करती है

समूह की कोटि = समूह में तत्वों की संख्या = 11077

H एक उचित उपसमूह है

H ⊆ K और H ≠ K

19 और 53, 11077 के भाजक हैं

H का आकार 11 या 53 हो सकता है

Concept -

For a group $G$ to be the internal direct product of two subgroups $H$ and $K$, certain conditions must be satisfied:

• $H\cap K=\{e\}$, where $e$ is the identity element of $G$. This implies that $H$ and $K$ intersect trivially.
• $H$ and $K$ are normal subgroups of $G$. Being normal means that each subgroup is invariant under conjugation by elements of $G$.
• Every element of $G$ can be uniquely expressed as a product of an element from $H$ and an element from $K$, which is denoted by $HK=G$.

Given these conditions, the statement that is not true when asserting that $G$ is the internal direct product of $H$ and $K$ is:

Option 4: $H\cup K=G$. The union of $H$ and $K$ does not necessarily cover all elements in $G$ unless every element of $G$ can be expressed as either an element of $H$ or $K$, which is not a requirement for the internal direct product. The correct condition is $HK=G$, meaning every element of $G$ is a product of elements from $H$ and $K$, not merely their set union.

Solution Statement -

The correct answer is option 4 because the union of two subgroups $H$ and $K$ does not ensure that every element of the group $G$ can be represented as a product of elements from $H$ and $K$. For $G$ to be the internal direct product of $H$ and $K$, it is essential that $HK=G$ and that $H$ and $K$ intersect trivially and are both normal in $G$.