Solutions of Partial Differential Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solutions of Partial Differential Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 23, 2025

पाईये Solutions of Partial Differential Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Solutions of Partial Differential Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Solutions of Partial Differential Equations MCQ Objective Questions

Solutions of Partial Differential Equations Question 1:

आंशिक अवकल समीकरण z = pq का सम्पूर्ण समाकलन ________ होगा। 

जहाँ p=zx एवं q=zy है। 

  1. Z = x + y + a
  2. Z = x - y + a
  3. Z = xy
  4. Z = (x + a) (y + b)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : Z = (x + a) (y + b)

Solutions of Partial Differential Equations Question 1 Detailed Solution

अवधारणा का उपयोग:

चार्पिट के सहायक समीकरण हैं

dpfx+pfz=dqfy+qfz=dzpfpqfq=dxfq=dyfq=dF0

स्पष्टीकरण:

चार्पिट्स समीकरण द्वारा -

dpfx+pfz=dqfy+qfz=dzpfpqfq=dxfq=dyfq=dF0

सभी आवश्यक मान प्राप्त करने के बाद, हमारे पास है

dpp=dqq=dq2pq=dxq=dyp=dF0

दूसरे और चौथे कारक को लेते हुए, हमारे पास है

dqq=dxqdq=dx

एकीकरण, हमारे पास है

q = x + a

इस मान को दिए गए समीकरण में डालने के बाद, हमारे पास है

p=zx+a

अब dz = pdx + qdy देता है

dz=zx+adx+(x+a)dy

x+a)dzzdx(x+a)2=dy

एकीकरण पर, हमारे पास है

zx+a=y+b

अर्थात z = (x + a)(y + b)

यह आवश्यक पूर्ण समाधान है.

Solutions of Partial Differential Equations Question 2:

x(yz)zx+y(zx)zy = z(x - y) का व्यापक हल ________ होगा।

  1. F(x + y + z, xyz) = 0
  2. F(xy + yz, xyz) = 0
  3. F(1x+1y+1z,xyz)=0
  4. F(x2 - y2, z) = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : F(x + y + z, xyz) = 0

Solutions of Partial Differential Equations Question 2 Detailed Solution

अवधारणा:

माना P(x,y,z)zx+Q(x,y,z)zy=R(x,y,z) कौशी रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है

लैग्रेंज -चारपिट विधि​ का प्रयोग करने पर,

अभिलाक्षणिक समीकरण निम्न प्रकार दी गई है: dxP=dyQ=dzR

x, y और z के व्यंजक ज्ञात करने के लिए अभिलाक्षणिक समीकरणों को हल करने पर, 

स्पष्टीकरण:

 x(yz)zx+y(zx)zy = z(x - y)

लैग्रेंज -चारपिट विधि​ का प्रयोग करने पर,

dxx((yz)=dyy(zx)=dzz(xy)

अब, dx+dy+dzxyxz+yzxy+zxzy

dx+dy+dz0

⇒ x+y+z=A (A अचर है)

अब, dxx+dyy+dzzyz+zx+xy

⇒ dxx+dyy+dzz0

⇒ xyz=B (B अचर है)

⇒ F(x + y + z, xyz) = 0

अतः, विकल्प (1) सही है

Solutions of Partial Differential Equations Question 3:

आंशिक अवकल समीकरण q2 = 4z2p2(1 – p2 को हल करें

  1. 2z2 = a2 - (2x + 2ay + b)2 ; जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  2. 4z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  3. 2z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2 ; जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  4. 4z2 = a2 - (2x + 2ay + b)2 ; जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 4z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं

Solutions of Partial Differential Equations Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

समीकरण जिसमें केवल p, q, z है।

मान लीजिए कि यह f(z, p, q) = 0 है;

(i) मान लें कि u = x + ay और p = dz/du और q = a dz/du प्रतिस्थापित कीजिये

(ii) परिणामी ODE को z और u में हल करें

(iii) u को x + ay से बदलें

गणना:

दिया गया है q2 = 4z2p2(1 – p2);

माना u = x + ay और p = dz/du और q = a dz/du प्रतिस्थापित कीजिये 

a2(dzdu)2=4z2(dzdu)2(1(dzdu)2) 

1a24z2=(dzdu)2

2z4z2a2dz=du

124z2a2=u+c

⇒ 4z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2 ;

Solutions of Partial Differential Equations Question 4:

आंशिक अवकलन समीकरण xy(zx)=x+1y+1(zy) का पूर्ण हल क्या है?

  1. z = a(x + y + log (xy))
  2. z = a(x - y + log (x/y))
  3. z = a(x + y + log (x/y))
  4. z = a(x - y + log (xy))
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : z = a(x + y + log (xy))

Solutions of Partial Differential Equations Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

(x, p) = g(y, q) के निर्माण के लिए वियोज्य समीकरण

माना कि f(x, p) = g(y, q) = a (स्थिरांक)

p और q के लिए f(x, p) = a और g(y, q) = a को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

p = ϕ(x, a) और q = ψ(y, a)

हमें dz = p dx + q dy प्राप्त होता है

Bu समाकलन, हमें आवश्यक हल निम्नानुसार मिलता है,

z = ∫ ϕ(x, a) dx + ∫ ψ(y, a) dy + b

जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं।

गणना:

दिया गया PDE है

xy(zx)=x+1y+1(zy)

p, q के संदर्भ में और पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, PDE निम्न होगा

xx+1p=yy+1q

माना xx+1p=yy+1q=a 

जब

xx+1p=ap=a+ax

yy+1q=aq=a+ay

dz = p dx + q dy में p और q के मान प्रतिस्थापित करने पर; 

⇒ dz=(a+ax)dx+(a+ay)dy 

दोनों तरफ समाकलन करने पर,

z=ax+alogx+ay+alogy

⇒ z = a(x + y + log (xy))

Solutions of Partial Differential Equations Question 5:

आंशिक अवकल समीकरण x(zx)y(zy)=y2x2 का पूर्ण हल ____________ होगा

  1. ϕ(x2 + y2 + 2z, x + y) = 0, जहाँ ϕ एक स्वेच्छ फलन है।
  2. ϕ(x2 + y2 – 2z, log (xy)) = 0, जहाँ ϕ एक स्वेच्छ फलन है।
  3. ϕ(x2 + y2 - 2z, x + y) = 0, जहाँ ϕ एक स्वेच्छ फलन है।
  4. ϕ(x2 + y2 + 2z, log (xy)) = 0, जहाँ ϕ एक स्वेच्छ फलन है।
  5. उत्तर नहीं देना चाहते

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : ϕ(x2 + y2 + 2z, log (xy)) = 0, जहाँ ϕ एक स्वेच्छ फलन है।

Solutions of Partial Differential Equations Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

प्रथम कोटि का रेखीय आंशिक अवकल समीकरणपहले क्रम का एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण, जिसे आमतौर पर लग्रान्ज  के रैखिक समीकरण के रूप में जाना जाता है, Pp + Qq = R के रूप में होता है जहाँ P, Q और R x, y, z के फलन हैं। इस समीकरण को अर्ध-रैखिक समीकरण कहा जाता है।

इस प्रकार, Pp + Qq = R के रूप के समीकरण को हल करने के लिए, हमें इस समाधान प्रक्रिया का पालन करना होगा:

1) सहायक समीकरण इस प्रकार बनाएं:

dxP=dyQ=dzR

2) u = a और v = b को हल के रूप में देकर किन्हीं दो युगपत समीकरणों को किसी भी विधि से हल कीजिए।

3) पूरा हल φ (u, v) = 0 या u = f (v) के रूप में लिखिए।

लग्रान्ज गुणकों की विधि​:

आंशिक अवकलन समीकरण पर विचार करें Pp + Qq = R​

तब सहायक समीकरण दिए जाते हैं:

dxP=dyQ=dzR

अब गुणकों P1, Q1, R1 को इस प्रकार चुनें कि अनुपात P1dx+Q1dy+R1dzP1P+Q1Q+R1R में हर गायब हो जाए।

⇒ P1 dx + Q1 dy + R1 dz = 0

समाकलन द्वारा, समाधान u (x, y, z) = c1 द्वारा दिया जाता है​

इसी तरह, गुणकों का एक और सेट चुनकर, फलन v(x, y, z) निर्धारित किया जाता है।

तब पूर्ण हल f (u, v) = 0 द्वारा दिया जाता है।

गणना:

दिया गया PDE निम्न है

x(zx)y(zy)=y2x2

p, q के संदर्भ में,

xp – yq = y2 – x2;

Pp + Qq = R के साथ इसकी तुलना करने पर,

P = x, Q = - y, R = y2 – x2;

सहायक समीकरण निम्न हैं

dxx=dyy=dzy2x2

पहला फलन:

गुणक x, y, 1 का उपयोग करने पर

⇒ xdx+ydy+dzx.xy.y+y2x2=xdx+ydy+dz0

∴ xdx + ydy + dz = 0 ⇒ x2 + y2 + 2z = स्थिरांक;

दूसरा फलन:

पहले दो समीकरणों पर विचार करें,

⇒ dxx=dyylogx+logy=constant

∴ log (xy) = स्थिरांक​;

अब पूरा समाधान निम्न होगा

ϕ(x2 + y2 + 2z, log (xy)) = 0, जहाँ ϕ एक स्वेच्छ फलन है।

Top Solutions of Partial Differential Equations MCQ Objective Questions

आंशिक अवकल समीकरण x2zx+y2zy=(x+y)z का हल क्या है?

  1. f(1y1x,xyz)=0
  2. f(1xy,xyz)=0
  3. f(1x1y, xyz)=0
  4. f(1x+1y+1z,xyz)=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : f(1y1x,xyz)=0

Solutions of Partial Differential Equations Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

Xp + Yq = Z

जहाँ pdzdx

qdzdy और X, Y और Z, x, y और z के फलन हैं। 

तो इसका सहायक समीकरण निम्न होगा

dxX=dyY=dzZ और उपरोक्त समीकरण को हल करने पर हमें u = c1 और v = cप्राप्त होता है। 

जहाँ c1 और  c2 = स्थिरांक है, u और v, x, y, z के फलन हैं। 

तो उपरोक्त समीकरण का हल निम्न होगा

f(u, v) = 0 या u = ϕ (v)

गणना:

हमें x2dzdx+y2dzdy=(x+y)z दिया गया है। 

तो इसका सहायक समीकरण निम्न होगा,dxx2=dyy2=dz(x+y)z ---(1)

उपरोक्त समीकरण के पहले दो भागों को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

dxx2=dyy21x=1y+c1c1=1y1x

हम समीकरण (1) को नीचे व्यक्त किये गए समीकरण के रूप में लिख सकते हैं 

dxxx=dyyy=dzzx+y

dxx+dyy=dzz

उपरोक्त समीकरण का समाकलन करने,

In x + In y = In z + In c2

⇒ In c2 = In x + In y – In z

c2=xyz

अतः दिए गए समीकरण का हल निम्न होगा

f(c1, c2) = 0

f[1y1x,xyz]=0

Solutions of Partial Differential Equations Question 7:

आंशिक अवकल समीकरण cos z cos px – pq + sin px sin z = 0 का पूर्ण हल ______ होगा

  1. z = ax – cos-1 (pq)
  2. z = ax + cos-1 (pq)
  3. z = ax + sin-1 (pq)
  4. z = ax – sin-1 (pq)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : z = ax + cos-1 (pq)

Solutions of Partial Differential Equations Question 7 Detailed Solution

संकल्पना:

 z = px + qy + f(p,q) का आंशिक अवकल समीकरण क्लेयरौट्स समीकरण के रूप में जाना जाता है।

ऐसे समीकरणों के लिए, हल दिया गया है 

z = ax + by + f(a,b) जहाँ a, b स्वेच्छ अचर​ हैं

अतः zx=a=p;zy=b=q;

गणना:

दिया गया PDE, cos z cos px – pq + sin px sin z = 0 है

पुनर्व्यवस्थित करने के बाद,

cos z cos px + sin z sin px = pq

⇒ cos (z – px) = pq

⇒ z – px = cos-1 (pq)

⇒ z = px + cos-1 (pq)

पूर्ण हल निम्न होगा

z = ax + cos-1 (pq)

Solutions of Partial Differential Equations Question 8:

आंशिक अवकल समीकरण zx+3zy=3x2sin(y3x) का सामान्य समाधान क्या होगा?

  1. f [3y – x, x3 sin (3y – x) – z] जहां f एक स्वेच्छ फलन है
  2. f [y – 3x, x3 sin (y – 3x) – z] जहां f एक स्वेच्छ फलन है
  3. f [y + 3x, x3 sin (y + 3x) – z] जहां f एक स्वेच्छ फलन है
  4. f [3y + x, x3 sin (3y + x) – z] जहां f एक स्वेच्छ फलन है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : f [y – 3x, x3 sin (y – 3x) – z] जहां f एक स्वेच्छ फलन है

Solutions of Partial Differential Equations Question 8 Detailed Solution

संकल्पना:

पहली कोटि के एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप इसके द्वारा दिया गया है

Pp + Qq = R

जहाँ P, Q, R x, y, z के फलन हैं। इसे लैग्रेंज के रैखिक समीकरण भी कहा जाता है।

लैग्रेंज के गुणकों की विधि का उपयोग करके लैग्रेंज के रैखिक समीकरणों को हल किया जा सकता है।

गणना:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है

zx+3zy=3x2sin(y3x)

P, Q, R के संदर्भ में लिखकर ⇒ p + 3q = R

dx1=dy3=dz3x2sin(y3x)(1)

पहले दो अपूर्णांकों से हम प्राप्त करते हैं

dx1=dy3y3x=C1(2)

पहले और आखिरी अपूर्णांकों से हमें मिलता है

dx1=dz3x2sin(y3x)dx1=dz3x2sinC1

⇒ 3x2 sin C1 dx = dz ⇒ x3 sin C1 = z + C2

⇒ x3 sin (y – 3x) – z = C2      - (3)

सामान्य समाधान f(C1, C2) = 0 होगा

f [y – 3x, x3 sin (y – 3x) – z] जहाँ f एक स्वेच्छ फलन है।

Solutions of Partial Differential Equations Question 9:

निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण एक आयामी तरंग समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है?

  1. ut=C22ux2
  2. 2ut2=C22ux2
  3. 2ut2=C2ux
  4. 2ut2+2ux2=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2ut2=C22ux2

Solutions of Partial Differential Equations Question 9 Detailed Solution

एक आयामी तरंग समीकरण: 2ut2=C22ux2

द्वि आयामी तरंग समीकरण: 2ut2=2ux2+2uy2

महत्वपूर्ण:

ऊष्मा समीकरण: ut=C22ux2

लैपलेस समीकरण: 2ux2+2uy2+2uz2=0

Solutions of Partial Differential Equations Question 10:

आंशिक अवकल समीकरण 2zy2+z=0 का हल है
जब  y=0,z=exandzy=ex

  1. z = e-x sin y + ex cos y
  2. z = e-x sin 2y + ex cos 2y
  3. z = ex sin y + e-x cos y
  4. z = ex sin 2y + e-x cos 2y

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : z = e-x sin y + ex cos y

Solutions of Partial Differential Equations Question 10 Detailed Solution

स्पष्टीकरण​:

2zy2+z=0

यदि z अकेले y का फलन होता, तो हल z = A sin y + B cos y होता, जहाँ A और B अचर हैं।

चूँकि z, x और y का एक फलन है, A और B, x के स्वेच्छ फलन हो सकते हैं।

अत: दिए गए समीकरणों का हल निम्न है,

z = f(x) sin y + ϕ(x) cos y

zy=f(x)cosyϕ(x)siny

y = 0 पर, z = e

⇒ ex = ϕ(x)

 y=0,zy=ex पर, 

⇒ e-x = f(x)

हल निम्न है,

z = e-x sin y + ex cos y

Solutions of Partial Differential Equations Question 11:

आंशिक अवकल समीकरण 22zx2+52zxy+22zy2=0 का हल होगा? 

  1. z = f(y + 2x) + ϕ(2y – x), जहाँ f और ϕ यादृच्छिक फलन हैं
  2. z = f(y + 2x) + ϕ(2y + x), जहाँ f और ϕ यादृच्छिक फलन हैं

  3. z = f(y – 2x) + ϕ(2y + x), जहाँ f और ϕ यादृच्छिक फलन हैं

  4. z = f(y – 2x) + ϕ(2y – x), जहाँ f और ϕ यादृच्छिक फलन हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 :

z = f(y – 2x) + ϕ(2y – x), जहाँ f और ϕ यादृच्छिक फलन हैं

Solutions of Partial Differential Equations Question 11 Detailed Solution

संकल्पना:

nzxn+k1nzxn1y++knnzyn=F(x,y) रूप का एक समीकरण जिसमें k नियत हैं, उन्हें nवें कोटि का नियत गुणांकों वाला समघात रैखिक PDE कहा जाता है।

लिखने पर, rxr=Drandryr=Dr

उपरोक्त समीकरण निम्न प्रकार बन जाता है

(Dn + k1Dn-1D’r+ … + kn D’r) z = F(x, y)

समीकरण 2zx2+k12zxy+k22zy2=0 पर विचार करें

इसका प्रतीकात्मक रूप (D2 + k1 DD’ + k2 D’2)z = 0 है

D2 + k1 DD’ + k2 D’2 = 0 सहायक समीकरण कहलाता है, मान लीजिए इसका मूल D/D' = m1, m2 है।

यदि मूल वास्तविक और भिन्न हैं, तो पूर्ण हल निम्न प्रकार दिया जाता है

z = f(y + m1x) + ϕ(y + m2x);

गणना:

दी गई समीकरण 22zx2+52zxy+22zy2=0 है

प्रतीकात्मक रूप में, (2D2 + 5DD’ + 2D’2)z = 0

इसकी सहायक समीकरण निम्न है 2m2 + 5m + 2 = 0, जहां m = D/D’

हल करने पर ⇒ m = - 2, - 1/2;

यहां पूरा हल निम्न होगा z = f(y – 2x) + ϕ(y – (x/2))

जिसे निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है

z = f(y – 2x) + ϕ(2y -x)

Solutions of Partial Differential Equations Question 12:

 p3 + q3 = qz को हल करें

  1. 4z (1 + a3) = a (x + ay + b)
  2. 2z (1 + a3) = a (x + ay + b)
  3. 4z (1 + a3) = a (x + ay + b)2
  4. 2z (1 + a3) = a (x + ay + b)2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4z (1 + a3) = a (x + ay + b)2

Solutions of Partial Differential Equations Question 12 Detailed Solution

संकल्पना:

f(z, p, q) = 0 के रूप का 

गणना:

दी गई PDE p3 + q3 = qz है;

माना p = dz/du और q = a dz/du को प्रतिस्थापित करें;

⇒ (dzdu)3+(adzdu)3=a(dzdu)z

⇒ (dzdu)2(1+a3)=az

⇒ dzdu=a1+a3z

⇒ 1+a3adzz=du

⇒ 1+a3a2z=u+b

⇒ 4(1+a3)az=(u+b)2

 u = x + ay को प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ 4z (1 + a3) = a (x + ay + b)2;

Solutions of Partial Differential Equations Question 13:

आंशिक अवकल समीकरण yz = pxy + qy2 + pqy का सामान्य समाधान क्या होगा?

  1. z = ax - by + ab जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं
  2. z = ax + by - ab जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं
  3. z = ax - by - ab जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं
  4. z = ax + by + ab जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : z = ax + by + ab जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं

Solutions of Partial Differential Equations Question 13 Detailed Solution

संकल्पना:

रूप z = px + qy + f (p, q) के आंशिक अवकल समीकरण को क्लाईरूट के समीकरण के रूप में जाना जाता है 

ऐसे समीकरणों के लिए, समाधान निम्न द्वारा दिया जाता है

z = ax + by + f(a, b) जहां a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं।

चूँकि zx=a=p;zy=b=q;

गणना:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण yz = pxy + qy2 + pqy है

दोनों ओर y के साथ विभाजित करके हम प्राप्त करते हैं

⇒ z = px + qy + pq

जो रूप z = px + qy + f(p,q) में है

फिर सामान्य समाधान होगा

z = ax + by + ab जहाँ a, b स्वेच्छ स्थिरांक हैं

Solutions of Partial Differential Equations Question 14:

आंशिक अवकल समीकरण q2 = 4z2p2(1 – p2 को हल करें

  1. 2z2 = a2 - (2x + 2ay + b)2 ; जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  2. 4z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  3. 2z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2 ; जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं
  4. 4z2 = a2 - (2x + 2ay + b)2 ; जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 4z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं

Solutions of Partial Differential Equations Question 14 Detailed Solution

संकल्पना:

समीकरण जिसमें केवल p, q, z है।

मान लीजिए कि यह f(z, p, q) = 0 है;

(i) मान लें कि u = x + ay और p = dz/du और q = a dz/du प्रतिस्थापित कीजिये

(ii) परिणामी ODE को z और u में हल करें

(iii) u को x + ay से बदलें

गणना:

दिया गया है q2 = 4z2p2(1 – p2);

माना u = x + ay और p = dz/du और q = a dz/du प्रतिस्थापित कीजिये 

a2(dzdu)2=4z2(dzdu)2(1(dzdu)2) 

1a24z2=(dzdu)2

2z4z2a2dz=du

124z2a2=u+c

⇒ 4z2 = a2 + (2x + 2ay + b)2 ;

Solutions of Partial Differential Equations Question 15:

आंशिक अवकल समीकरण x2zx+y2zy=(x+y)z का हल क्या है?

  1. f(1y1x,xyz)=0
  2. f(1xy,xyz)=0
  3. f(1x1y, xyz)=0
  4. f(1x+1y+1z,xyz)=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : f(1y1x,xyz)=0

Solutions of Partial Differential Equations Question 15 Detailed Solution

संकल्पना:

Xp + Yq = Z

जहाँ pdzdx

qdzdy और X, Y और Z, x, y और z के फलन हैं। 

तो इसका सहायक समीकरण निम्न होगा

dxX=dyY=dzZ और उपरोक्त समीकरण को हल करने पर हमें u = c1 और v = cप्राप्त होता है। 

जहाँ c1 और  c2 = स्थिरांक है, u और v, x, y, z के फलन हैं। 

तो उपरोक्त समीकरण का हल निम्न होगा

f(u, v) = 0 या u = ϕ (v)

गणना:

हमें x2dzdx+y2dzdy=(x+y)z दिया गया है। 

तो इसका सहायक समीकरण निम्न होगा,dxx2=dyy2=dz(x+y)z ---(1)

उपरोक्त समीकरण के पहले दो भागों को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

dxx2=dyy21x=1y+c1c1=1y1x

हम समीकरण (1) को नीचे व्यक्त किये गए समीकरण के रूप में लिख सकते हैं 

dxxx=dyyy=dzzx+y

dxx+dyy=dzz

उपरोक्त समीकरण का समाकलन करने,

In x + In y = In z + In c2

⇒ In c2 = In x + In y – In z

c2=xyz

अतः दिए गए समीकरण का हल निम्न होगा

f(c1, c2) = 0

f[1y1x,xyz]=0
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