Solutions of Integral Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solutions of Integral Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

ट्रैपेज़ॉइडल नियम संख्यात्मक एकीकरण में एक विधि है जिसका उपयोग निश्चित अभिन्नों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। चार अंतरालों के साथ समलम्बाकार नियम का उपयोग करके 0 से 2 तक अभिन्न $\int \frac{1}{(1+x)}dx$ मूल्यांकन करने के लिए, हम पहले अंतराल की चौड़ाई निर्धारित करते हैं।

अंतराल [0,2] को 4 उपअंतरालों में विभाजित किया गया है, इसलिए प्रत्येक अंतराल की चौड़ाई, $h=\frac{(2-0)}{4}=0.5$

हमारे x बिंदु हैं: $x₀=0,x₁=0.5,x₂=1.0,x₃=1.5,x₄=2.0.$

अब, समलम्बाकार नियम लागू करना:

$\int \frac{1}{(1+x)}dx\approx \frac{h}{2}[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+2f(x₃)+f(x₄)]$

मानों को प्रतिस्थापित करें:

$\approx \frac{0.5}{2}[f(0)+2f(0.5)+2f(1.0)+2f(1.5)+f(2.0)]$

इस मामले में, $f(x)=\frac{1}{(1+x)}$ , इसलिए प्रत्येक बिंदु पर f(x) के मानों की गणना करें:

$\approx 0.25[\frac{1}{(1+0)}+2\frac{1}{(1+0.5)}+2\frac{1}{(1+1.0)}+2\frac{1}{(1+1.5)}+\frac{1}{(1+2)}]$

$\approx 0.25[1+1.33+1+0.8+0.33]$

$\approx 0.25\times 4.46$

$\approx 1.115$

स्पष्टीकरण:

ट्रैपेज़ॉइडल नियम संख्यात्मक एकीकरण में एक विधि है जिसका उपयोग निश्चित अभिन्नों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। चार अंतरालों के साथ समलम्बाकार नियम का उपयोग करके 0 से 2 तक अभिन्न $\int \frac{1}{(1+x)}dx$ मूल्यांकन करने के लिए, हम पहले अंतराल की चौड़ाई निर्धारित करते हैं।

अंतराल [0,2] को 4 उपअंतरालों में विभाजित किया गया है, इसलिए प्रत्येक अंतराल की चौड़ाई, $h=\frac{(2-0)}{4}=0.5$

हमारे x बिंदु हैं: $x₀=0,x₁=0.5,x₂=1.0,x₃=1.5,x₄=2.0.$

अब, समलम्बाकार नियम लागू करना:

$\int \frac{1}{(1+x)}dx\approx \frac{h}{2}[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+2f(x₃)+f(x₄)]$

मानों को प्रतिस्थापित करें:

$\approx \frac{0.5}{2}[f(0)+2f(0.5)+2f(1.0)+2f(1.5)+f(2.0)]$

इस मामले में, $f(x)=\frac{1}{(1+x)}$ , इसलिए प्रत्येक बिंदु पर f(x) के मानों की गणना करें:

$\approx 0.25[\frac{1}{(1+0)}+2\frac{1}{(1+0.5)}+2\frac{1}{(1+1.0)}+2\frac{1}{(1+1.5)}+\frac{1}{(1+2)}]$

$\approx 0.25[1+1.33+1+0.8+0.33]$

$\approx 0.25\times 4.46$

$\approx 1.115$

संकल्पना:

समलम्बाकार नियम का सूत्र इस प्रकार है:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{h}{2}\left[(y_o+y_n)+2(y_1+y_2+...)\right]$

गणना:

h = 1 - 0 = 1

y₀ = 1 , y₁ = 0.5 , y₂ = 0.2  y₃ = 0.1

उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{h}{2}\left[(y_o+y_n)+2(y_1+y_2+...)\right]$

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=\frac{1}{2}\left[(1+0.1)+2(0.5+0.2)\right]=1.25$

उपरोक्त समीकरण की गणना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं,

${\displaystyle {\int }_0^{3}f(x)dx}$ = 1.25

व्याख्या:

$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{s}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{h}}$

जहाँ,

b ऊपरी सीमा है, a निम्न सीमा है, h पद का आकार है

समलंबी नियम के अनुसार

$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{h}}{2}\left[{\mathrm{y}}_{\mathrm{o}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}+2\left({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2+{\mathrm{y}}_3\dots \right)\right]$

यह 1-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार

$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{h}{3}\left[\left(y_o+y_n\right)+2\left(y_2+y_4+y_6+\dots \right)\right]+4\left[y_1+y_3+y_5+\dots \right]$

यह 2-डिग्री बहुपद के लिए फिट बैठता है।

सिम्पसन के 3/8 नियम के अनुसार

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}ydx=\frac{3h}{8}\left[(y_0+y_n)+3(y_1+y_2+y_4+y_5..)+2(y_3+y_6+y_9..)\right]$

यह 3-डिग्री बहुपद के लिए उपयुक्त है।

संकल्पना:

संख्यात्मक समाकलन के लिए सिम्पसन का $\frac{3}{8}\mathrm{t}\mathrm{h}$ नियम है

${\int }_{{\mathrm{x}}_0}^{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{3\mathrm{h}}{8}\{({\mathrm{y}}_0+{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}})+3({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2+{\mathrm{y}}_4+{\mathrm{y}}_5+...+{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}-1})+2({\mathrm{y}}_3+{\mathrm{y}}_6+...+{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}-2})\}$

इस नियम को न्यूटन के 3/8 नियम के रूप में भी जाना जाता है।

संकल्पना:

समलम्बाकार नियम बताता है कि एक फलन y = f(x) के लिए

xn = x0 + nh, जहाँ n = उप-अंतरालों की संख्या 

h = चरण - आकार

${\int }_{x_0}^{x_0+nh}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_0+y_n\right)+2\left(y_1+y_2+y_3+\dots +y_{n-1}\right)\right]$     …1)

एक समलम्बाकार नियम के लिए उप-अंतरालों की संख्या 1 की गुणज होनी चाहिए।

गणना:

$\begin{array}{ccccc}x& :& 0& 1& 2\\ f\left(x\right)& :& 4& 3& 12\end{array}$

यहाँ: x0 = 4, x1 = 3, x2 = 12, h = 1

समीकरण (1) से;

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[\left(x_0+x_2\right)+2\left(x_1\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\left(4+12\right)+2\left(3\right)\right]=\frac{22}{2}=11$

प्रमुख बिंदु:

समलम्बाकार नियम के अलावा, अन्य संख्यात्मक समाकलन विधि हैं:

सिम्पसन का एक तिहाई नियम:

इस नियम को लागू करने के लिए, उप-अंतरालों की संख्या 2 का गुणक होना चाहिए।

${\int }_{x_0}^{x_0+nh}f\left(x\right)dx=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+y_5+\dots +y_{n-1}\right)+2\left(y_2+y_4+y_6+\dots +y_{n-2}\right)\right]$     ..2)

सिम्पसन के तीन-आठवां नियम:

इस नियम को लागू करने के लिए, उप-अंतरालों की संख्या 3 का गुणक होना चाहिए।

${\int }_{x_0}^{x_0+nh}f\left(x\right)dx=\frac{3h}{8}\left[\left(y_0+y_n\right)+3\left(y_1+y_2+y_4+y_5+\dots \right)+2\left(y_3+y_6+\dots \right)\right]$

संकल्पना:

समलम्बाकार नियम कहता है कि:

$\underset{x_0}{\overset{x_0+nh}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_0+y_n\right)+2\left(y_1+y_2+\dots +y_{n-1}\right)\right]$

गणना:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}dx$

अंतराल की कुल संख्या = 4

$h=\frac{1}{4}=0.25$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_0+y_4\right)+2\left(y_1+y_2+y_3\right)\right]$

$=\frac{1}{8}\left[\left(1+0.5\right)+2\left(0.8+0.66+0.57\right)\right]$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}dx=0.6950$

वर्णन:

समलंबी नियम

यह एक रेखीय फलन का अचूक एकीकरण करता है और 2 डिग्री या उच्चतर के बहुपद फलन के लिए त्रुटियाँ उत्पन्न करता है।

$\underset{x_0}{\overset{x_0+nh}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_0+y_n\right)+2\left(y_1+y_2+----y_{n-1}\right)\right]$

यहाँ, अंतराल को 'h' समान चौड़ाई के  'n' संख्या के अंतराल(विषम या सम) में विभाजित किया जाता है।

b ऊपरी सीमा है, a निचली सीमा है, h चरण आकार है।

यह 1 - डिग्री (रैखिक) वाले बहुपद के लिए उपयुक्त होता है। 

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{h}{3}\left[\left(y_o+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+y_5+\dots \right)\right]+2\left[y_2+y_4+y_6+\dots \right]$

यह 2 - डिग्री (द्विघात) वाले बहुपद के लिए उपयुक्त होता है। 

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}ydx=\frac{3h}{8}\left[y_0+3(y_1+y_2+y_4+y_5..)+2(y_3+y_6+y_9..)\right]$

यह 3 - डिग्री (घनीय) वाले बहुपद के लिए उपयुक्त होता है। 

अवधारणा:

b = ऊपरी सीमा, a = निचली सीमा, h = चरण आकार।

समलम्बाकार नियम के अनुसार

$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{h}}{2}\left[{\mathrm{y}}_{\mathrm{o}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}+2\left({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2+{\mathrm{y}}_3\dots \right)\right]$

गणना:

दिया हुआ:

f(0) = 1, f(1) = 2.72 और h = 1, ∴ n = 1

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\Rightarrow \frac{h}{2}[y_0+y_n]=\frac{1}{2}[1+2.72]\Rightarrow 1.86$

अवधारणा:

निम्न तालिका संख्यात्मक समाकलन और बहुपदों की डिग्री के विभिन्न तरीकों को दिखाती है जिसके लिए वे न्यूनतम त्रुटि या शून्य त्रुटि के परिणाम उत्पन्न करेंगे:

उपरोक्त तालिका से, यह स्पष्ट है कि डिग्री ≤ 1 के समलम्बाकार नियम और बहुपद दोनों

Alternate Method

हम जानते हैं कि,

संख्यात्मक समाकलन f(x) के लिए सूत्र प्राप्त करते समय  को माना जाता है -

• द्विघात बहुपद → सिम्पसन का 1/3 नियम
• घन बहुपद → सिम्पसन का 3/8 नियम
• रैखिक बहुपद → समलम्बाकार नियम

संकल्पना:

समलम्बाकार नियम निम्न द्वारा दिया गया है:

$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{h}}{2}\left[{\mathrm{y}}_{\mathrm{o}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}+2\left({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2+{\mathrm{y}}_3\dots \right)\right]$

$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{s}(\mathrm{n})=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{h}}$

जहाँ b ऊपरी सीमा है, a निचली सीमा है, h चरण आकार है।

गणना:

दिया हुआ:

x    : 0 1 2

f(x) : 8 5 6

[f(x)]2:64 25 36

ऊपर दिए गए डेटा से n = 2, y0 = 64, y1 = 25, y2 = 36, b = 2, a = 0

$h=\frac{(b-a)}{Numberofintervals}=\frac{(2-0)}{2}=1$

समलम्बाकार नियम का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

${\displaystyle {\int }_0^2[f(x){]}^{2}dx=\frac{h}{2}[y_0+y_2+2(y_1)]=\frac{1}{2}[64+36+2(25)]=\frac{150}{2}=75}$

स्पष्टीकरण:

समलंबी नियम

यह एक रेखीय फलन का अचूक समाकलन करता है और 2 डिग्री या उच्चतर के बहुपद फलन के लिए त्रुटियाँ उत्पन्न करता है।

$\underset{x_0}{\overset{x_0+nh}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[\left(y_0+y_n\right)+2\left(y_1+y_2+----y_{n-1}\right)\right]$

यहाँ, अंतराल को 'h' समान चौड़ाई के 'n' संख्या के अंतराल(विषम या सम) में विभाजित किया जाता है।

सिम्पसन का नियम

यह घन बहुपदों तक सटीक अभिन्न उत्पन्न करता है। सिम्पसन के अनुमानों में त्रुटियां 4 या अधिक डिग्री की अवधि से उत्पन्न होती हैं।

सिम्पसन का एक तिहाई नियम​

$\underset{x_0}{\overset{x_0+nh}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{h}{3}\left[\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+----y_{n-1}\right)\right]+2\left(y_2+y_4+----y_{n-2}\right)$

दिए गए अंतराल को समान उप-अंतराल की एक समान संख्या में विभाजित किया जाना चाहिए।

सिम्पसन का तीन-आठ नियम:​

$\underset{x_0}{\overset{x_0+nh}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{3h}{8}\left[\left(y_0+y_n\right)+3\left(y_1+y_2+y_4+y_5\pm ---y_{n-1}\right)\right]+2\left[y_3+y_6+----y_{n-3}\right)]$

यहाँ, उप-अंतराल की संख्या को 3 के गुणज के रुप में लिया जाना चाहिए।

अवधारणा:

$\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{s}=\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{\mathrm{h}}$

जहाँ, b = ऊपरी सीमा, a = निचली सीमा, h = चरण आकार

सिम्पसन के 1/3 नियम के अनुसार:

${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{h}{3}[(y_0+y_n)+4(y_1+y_3+...)+2(y_2+y_4+...)]$

नोट: सिम्पसन के 1/3 नियम में अंतरालों की संख्या सम है।

गणना:

दिया हुआ:

y = f(x) = 1/x, माना कि n = 6, a = x0 = 1, b = x3 = 7

$h=\frac{x_3-x_0}{n}=\frac{7-1}{6}\Rightarrow 1$

हम जानते हैं कि,

${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{h}{3}[(y_0+y_n)+4(y_1+y_3+...)+2(y_2+y_4+...)]$

$\therefore \frac{1}{3}[(1+\frac{1}{7})+4(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6})+2(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})]$

∴ 1.958 

संकल्पना:

सिम्पसन का नियम:

यह विधि तीन बिंदुओं के सेट के माध्यम से द्विघात फिट करके फलन  f(x) को अनुमानित करने पर आधारित है

सिम्पसन का 1/3 नियम इस प्रकार दिया गया है:

 ${\displaystyle {\int }_{x_0}^{x_n}ydx=\frac{h}{3}\left\{\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+y_5+\dots \right)+2\left(y_2+y_4+y_6+\dots \right)\right\}}$

जहाँ x0 = a, xn = b और $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$

गणना:

दिया गया है:

$Energy=\underset{0}{\overset{T}{\int }}Td\theta$ जहाँ θ रेडियन में

सिम्पसन का नियम:​${\displaystyle {\int }_{x_0}^{x_n}ydx=\frac{h}{3}\left\{\left(y_0+y_n\right)+4\left(y_1+y_3+y_5+\dots \right)+2\left(y_2+y_4+y_6+\dots \right)\right\}}$

$=\frac{h}{3}[(T_0+T_6)+4\left(T_1+T_3+T_5\right)+2\left(T_2+T_4\right)]$

$=\frac{\pi /3}{3}[(0+0)+4\left(1066+0-355\right)+2\left(-323+323\right)]=992.74$

संकल्पना:

सामान्य द्विघात सूत्र (G.Q.F):-

$I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{x_0}^{x_n}f\left(x\right)dx$

$=h\left[n{y}_0+\frac{n^2}{2}\mathrm{\Delta }{y}_0+\left(\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}\right){\mathrm{\Delta }}^2\frac{y_0}{2!}\dots \right]$

जहां, h = चरण आकार

n = पट्टियों की संख्या

1) समलम्बाकार नियम: एक बार में n = 1 पट्टी लेना और G.Q.F में दूसरे और उच्च-कोटि के अंतरों की उपेक्षा करने पर

${\int }_{x_0}^{x_1}f\left(x\right)dx=h\left[1.y_0+\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Delta }{y}_0+Neglect\right]$

$=h\left[y_0+\frac{1}{2}\left(y_1-y_0\right)\right]$

$=\frac{h}{2}\left(y_0+y_1\right)$

पुन:,

${\int }_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx=h\left[1.y_1+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{y}_1+Neglect\right]$

$=h\left[y_1+\left(\frac{1}{2}\right)\left(y_2-y_1\right)\right]$

$=\frac{h}{2}\left(y_1+y_2\right)$

इसी प्रकार, ${\int }_{x_2}^{x_3}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left(y_2+y_3\right)$ 

${\int }_{x_{n-1}}^{x_n}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left(y_{n-1}+y_n\right)$

$I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\frac{h}{2}\left[y_0+y_n+2\left(y_1+y_2+y_3+\dots y_{n-1}\right)\right]$

$\Rightarrow I=\frac{h}{2}\left[y_0+y_n+2\left(y_1+y_2+y_3\dots +y_{n-1}\right)\right]$

2) सिम्पसन का 1/3^वां नियम: यदि हम एक बार में n = 2 पट्टी लेते हैं और G.Q.F में 3 (तीसरी) और उच्च-कोटि अंतर की उपेक्षा करने पर

$I=\frac{h}{3}\left[y_0+y_n+4\left(y_1+y_3+y_5\dots \right)+2\left(y_2+y_4\dots \right)\right]$

3) सिम्पसन का 3/8^वां नियम: यदि हम एक बार में n = 3 पट्टी लेते हैं और G.Q.F में 4^वीं और उच्च-कोटि अंतर की उपेक्षा करने पर

$I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{x_0}^{x_3}f\left(x\right)dx+{\int }_{x_3}^{xb}f\left(x\right)dx\dots {\int }_{x_{n-3}}^{x_n}f\left(x\right)dx$

$I=\frac{3}{8}h\left[y_0+y_n+3\left(y_1+y_2+y_4+y_5\dots \right)+2\left(y_3+y_6+y_9\right)\right]$

4) आयत नियम

आयत नियम में, हम एकल प्रक्षेप बिंदु 'a' का उपयोग करके f|a,b| को सन्निकट करते हैं। हमारा बहुपद इंटरपोलेंट (अंतर्वेश्य) इस प्रकार एक स्थिर बहुपद p(t) = f(a) होगा, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है और हम इसका क्षेत्रफल की निम्न IR का उपयोग करके गणना कर सकते हैं:

I_R = f(a) ⋅ (b - a)

इस प्रकार,

1) समलम्बाकार नियम डिग्री 1 के बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है क्योंकि हमने G.Q.F में दूसरी कोटि के अंतर की उपेक्षा की है जबकि परिणाम उच्च डिग्री बहुपद के लिए सटीक मान से अधिक है।

2) सिम्पसन का 1/3^वां नियम डिग्री 2 के बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है, जबकि परिणाम उच्च डिग्री बहुपद के लिए सटीक मान से अधिक होता है।

3) सिम्पसन का 3/8^वां नियम घन बहुपद के लिए सटीक परिणाम देता है।

4) आयत नियम एक स्थिर फलन के लिए सटीक परिणाम देता है।