Solution of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों का निकाय है:

\(2x + y - z = 0\)

\(4x - py + 4z = 4\)

\(x - y + z = q\)

\(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\)

गुणांक आव्यूह A है:

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

संवर्धित आव्यूह [A|B] है:

\([A|B] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & q \end{bmatrix}\)

A के सारणिक, |A| की गणना करें:

\(|A| = 2(-\frac{p}{4} + 1) - 1(1 - 1) - 1(-1 + \frac{p}{4})\)

\(|A| = -\frac{p}{2} + 2 + 0 + 1 - \frac{p}{4}\)

\(|A| = 3 - \frac{3p}{4}\)

⇒ अद्वितीय हल के लिए, \(|A| \ne 0\):

\(3 - \frac{3p}{4} \ne 0\)

\(3 \ne \frac{3p}{4}\)

\(p \ne 4\)

कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, \(|A| = 0\), इसलिए \(p = 4\) है। 

⇒ यदि \(p=4\) है, तो निकाय बन जाता है:

\(2x + y - z = 0\)

\(x - y + z = 1\)

\(x - y + z = q\)

⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, \(1 = q\) है। 

⇒ यदि \(p = 4\) और \(q = 1\) है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।

⇒ यदि \(p = 4\) और \(q \ne 1\) है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

(I) अद्वितीय हल: \(p \ne 4\). \(p\), 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। \(q\),10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90

(II) कोई हल नहीं: \(p = 4\) और \(q \ne 1\). \(q\) के लिए 9 मान है। \(p\) के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9

(III) अनंत हल: \(p = 4\) और \(q = 1\). केवल 1 युग्म।

(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91

∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)

गणना

\(D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 2 & λ & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{array}\right|=0\)

⇒ \(λ \mu+42 λ-4 \mu+107=0\)

D₁ = 2λμ + 99λ - 10μ + 255

D₂ = 13 - μ

D₃ = 5λ + 5

D₂ = 0 ⇒ μ = 13 और D₃ = 0 ⇒ λ = -1

इन मानों के लिए D और D₁ = 0

λ + μ = 13 - 1 = 12

इसलिए विकल्प 4 सही है

गणना

\(\Delta=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 5 & λ & 3 \\ 100 & -47 & μ \end{array}\right|=0\)

⇒ 2(λμ + 141) + (5μ - 300) - 235 - 100λ = 0 …(1)

\(\Delta_{3}=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{array}\right|=0\)

⇒ 6λ = -12 ⇒ λ = -2

(1) में λ = -2 रखने पर,

⇒ 2(-2μ + 141) + 5μ - 300 - 235 + 200 = 0

⇒ μ = 53

μ - 2λ = 57

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

चूँकि दिए गए समीकरण निकाय का एक अतुच्छ हल है।

\(\Delta=\left|\begin{array}{lll} p & a & a \\ b & q & b \\ c & c & r \end{array}\right|=0\)

C₂ → C₂ - C₁ और C₃ → C₃ - C₁ को लागू करने पर

\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} p & a-p & a-p \\ b & q-b & 0 \\ c & 0 & r-c \end{array}\right|=0\)

C₃ के अनुदिश प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है

\((a-p)\left|\begin{array}{cc} b & q-b \\ c & 0 \end{array}\right|+(r-c)\left|\begin{array}{cc} p & a-p \\ b & q-b \end{array}\right|=0\)

⇒ (a - p)(-c)(q - b) + (r - c){p(q - b) - b(a - p)} = 0

⇒ (p - a)(q - b)c + p(r − c)(q - b) + b(r − c)(p - a) = 0

(p - a)(q - b)(r - c) से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ \(\frac{c}{r-c}+\frac{p}{p-a}+\frac{b}{q-b}=0\)

⇒ \(\frac{p}{p-a}=-\frac{c}{r-c}-\frac{b}{q-b}\)

⇒ \(\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}=\frac{q-b}{q-b}+\frac{r-c}{r-c}=2\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

गणना

x + y + z = 1 ---(1)

10x + 100y + 1000z = 0 ---(2)

qrx + pry + pqz = 0 ---(3)

समीकरण (3) को फिर से लिखा जा सकता है

\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=0 \quad(\because p, q, r \neq 0)\)

मान लीजिए, \(p=\frac{1}{a+9 d}, q=\frac{1}{a+99 d}, r=\frac{1}{a+999 d}\)

अब, समीकरण (3) है

(a + 9d)x + (a + 99d)y + (a + 999d)z = 0

\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 1000 \\ a+9 d & a+99 d & a+999 d \end{array}\right|=0\)

\(\Delta_{x}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 100 & 1000 \\ 0 & a+99 d & a+999 d \end{array}\right|=900(d-a)\)

\(\Delta_{y}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 0 & 1000 \\ a+9 d & 0 & a+999 d \end{array}\right|=990(a-d)\)

\(\Delta_{z}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 0 \\ a+9 d & a+99 d & 0 \end{array}\right|=90(d-a)\)

विकल्प I: यदि \(\frac{q}{r}=10 \Rightarrow a=d\) है। 

\(\Delta=\Delta_{x}=\Delta_{y}=\Delta_{z}=0\)

और समीकरण (1) और समीकरण (2) समांतर समतल नहीं दर्शाते हैं और समीकरण (2) और समीकरण (3) समान समतल दर्शाते हैं

⇒ अपरिमित रूप से अनेक हल है। 

I → P, Q, R, T

विकल्प II: \(\frac{p}{r} \neq 100 \Rightarrow a \neq d\)

\(\Delta=0, \Delta_{x}, \Delta_{y}, \Delta_{z} \neq 0\)

कोई हल नहीं है। 

II → S

विकल्प III: \(\frac{p}{q} \neq 10 \Rightarrow a \neq d\)

कोई हल नहीं है। 

III → S

विकल्प IV: यदि \(\frac{p}{q}=10 \Rightarrow a=d\)

अपरिमित रूप से अनेक हल है। 

IV → P, Q, R, T

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k²

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k (k² – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

Concept:

Consider three linear eqaution in two variable:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a3x + b3y + c3 = 0

Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:

​​​​\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}} \right|=0\)

द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:

ax2 + bx + c = 0

x = \(\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)

गणना:

2k2x + 3y - 1 = 0      ....(1)

7x - 2y + 3 = 0      ....(2)

6kx + y + 1 = 0      ....(3)

For consistency of given simultaneous equation,

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2k^2&3&-1\\ 7&-2&3\\ 6k&1&1 \end{array}} \right|=0\)

⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0

⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0

⇒ -10k2 + 42k - 28 =  0

⇒ 5k2 - 21k + 14 =  0

By using the formula,

\(x=\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)

\(\Rightarrow k=\rm \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^{2} - 4(5)(14)}}{2\times 5}\)

\(\therefore k=\rm \frac{21 \pm \sqrt{161}}{10}\)

अवधारणा:

A = [aij]m × n = आव्यूह का गुणांक, X = चरों का स्तंभ आव्यूह

B = स्थिरांकों का स्तंभ आव्यूह

प्रणाली AX = B में निम्न है

1) एक अद्वितीय हल, यदि A की रैंक = रैंक [A|B] और चरों की संख्या के बराबर है।

2) असीम रूप से अनेक हल, यदि A की रैंक = [A|B] की रैंक < चरों की संख्या

3) कोई हल नहीं, यदि A की रैंक ≠ [A|B] की रैंक यानी A की रैंक < [A|B] की रैंक।

गणना:

माना

\(let\;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 1&{ 2}&{ λ} \end{array}} \right]\)

हम देख सकते हैं कि, λ = 3 पर, R2 = R3 और इसलिए, |A| = 0 है। 

λ = 3 के लिए या तो अनंत हल मौजूद हैं या कोई हल मौजूद नहीं है।

दिए गए रैखिक समीकरण का गुणांक आव्यूह है

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 1&{ 2}&{ λ} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\end{array}}\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10} \end{array}}\\ \mu\end{array}} \right]\;\)

R3 → R3 - R2

⇒ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 0&{ 0}&{ λ\ -\ 3} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\end{array}}\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10} \end{array}}\\ \mu\ -\ 3\end{array}} \right]\;\)

माना संवर्धित आव्यूह हो

\(X = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 0&{ 0}&{ λ \ -\ 3} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10}\\ \mu\ -\ 10 \end{array}} \right.} \right]\)

बिना किसी हल के,  μ = 10 

इसलिए, λ = 3, μ = 10 सही उत्तर है।Shortcut Trickx + y + z = 6

x + 2y + 3z = 10

x + 2y + λz = μ 

इसलिए, यदि हम λ = 3, μ = 10 रखते हैं, तो दो-समीकरण संपाती होंगे, जिसके परिणामस्वरूप अनंत संख्या में हल प्राप्त होंगे।

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \({\rm{\;}}\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत प्रणाली है। 

गणना:

रैखिक समीकरण की दी गयी प्रणाली kx + y + z = 1, x + ky + z = 1 और x + y + kz = 1 हैं। 

माना कि A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right]\)है। 

det (A) = |A| = k (k² – 1) – 1(k -1) + 1 (1 – k)

⇒ |A| = k³ – k – k + 1 + 1 – k = k³ – 3k + 2

विशिष्ट हल के लिए,

det (A) ≠ 0

⇒ k³ – 3k + 2 ≠ 0

⇒ (k – 1) (k² + k - 2) ≠ 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) ≠ 0

∴ k ≠ 1 और k ≠ -2

संकल्पना

माना की समीकरण की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\({\rm{\;}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल के साथ समान है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ समान है।

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत है (कोई हल नहीं)। 

गणना:

दिया गया है कि समीकरण की प्रणाली x + y + z = 8, x – y + 2z = 6 और 3x – y + 5z = k है।

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{ - 1}&2\\ 3&{ - 1}&5 \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{k}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

A की सारणिक = |A| = 1 (-5 + 2) – 1 (5 – 6) + 1 (-1 + 3) = -3 + 1 + 2 = 0

इसलिए हम कह सकते हैं कि समीकरण में या तो अनंत रूप से हल है या कोई हल नहीं है। 

विशिष्ट हल संभव नहीं है। 

 ∴ कथन 3 गलत है। 

हमारे पास adj A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right]\)है

यदि K = 15 तो

B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right]\)

अब (adj A). B निम्न होगा 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right] \ne 0 \)

⇒ कोई हल नहीं

यदि K = 20 तो

B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right]\)

अब (adj A). B निम्न होगा 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right] = 0 \)

⇒ अनंत रूप से कई हल

अतः विकल्प 1 सहीं हैं। 

रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली:

x + y + z = 5;

x + 2y + 2z = 6;

और x + 3y + z = μ के अनंत हल हैं

∴ Δ = 0, Δx = Δy = Δz = 0

अब दिए गए समीकरणों से सारणिक बनाते हुए,

\({\rm{\Delta }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&2\\ 1&3&{\rm{\lambda }} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1(2λ – 6)-1(λ – 2)+1(3 – 2) = 0

⇒ 2λ – 6 – λ + 2 + 3 – 2 = 0

⇒ λ – 8 + 5 = 0

⇒ λ – 3 = 0

∴ λ = 3

अब, y का सारणिक है:

\({\rm{\Delta y}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ 1&6&2\\ 1&{\rm{\mu }}&3 \end{array}} \right| = 0\)

R₂ → R₂ – R₁

R₃ → R₃ – R₁

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ {1 - 1}&{6 - 5}&{2 - 1}\\ {1 - 1}&{{\rm{\mu }} - 5}&{3 - 1} \end{array}} \right| = 0\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ 0&1&1\\ 0&{{\rm{\mu }} - 5}&2 \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1(2 – (μ – 5)) – 5(0 – 0) + 1(0 – 0) = 0

⇒ 1(2 – (μ – 5)) = 0

⇒ 2 – μ + 5 = 0

⇒ 7 – μ = 0

∴ μ = 7

अब,

Ax = B

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\\ 4&{ - 6} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7 \end{array}} \right]\)

X = (adj(A).B)/(|A|)

|A| \(= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right|\) = -12 - (-12) = - 12 + 12 = 0

|A| = 0

Adj (A) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right]\)

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 60 + 21}\\ { - 40 + 14} \end{array}} \right]\)

0 = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 39}\\ { - 26} \end{array}} \right]\)

धारणा:

हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:

a₁₁ × x + a₁₂ × y = b₁

a₂₁ × x + a₂₂ × y = b₂

हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}} \end{array}} \right]\)

स्थिती -1: यदि A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| ≠ 0

फिर X = A^-1 B जहाँ A^-1 मौजूद होगा यदि और केवल यदि |A| ≠ 0 और यह इसके द्वारा दिया गया है: \({A^{ - 1}} = \frac{{adj\;\left( A \right)}}{{\left| A \right|}}\)

स्थिती – 2: यदि A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| = 0

इस मामले में, हमें इसकी गणना करनी होगी (adj (A)) × B

यदि (adj (A)) × B ≠ O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

यदि (adj (A)) × B = O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसके अनंत रूप से कई हल हैं।

गणना:

दिया हुआ: x + 3y = 5 और 2x + ky = 8

हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 2&k \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 8 \end{array}} \right]\)

यह कहने के लिए कि रेखीय समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका अद्वितीय हल है, |A| ≠ 0.

⇒ |A| = k – 6 ≠ 0 ⇒ k ≠ 6

अवधारणा:

यदि दो रैखिक समीकरण

a1​x + b1y ​= c1​ और a2​x + b2y ​= c2 है, तब

(a) यदि a1​​/a2 = b1​​/b2 ​​= c1​​/c2 है, तब निकाय संगत है और इसके अपरिमित रूप से कई हल हैं।

(b) यदि a1​​/a2 = b1​​/b2 ≠ c1​​/c2 है, तब निकाय का कोई हल नहीं है और असंगत है।

गणना:

समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0

2/6 = - k/-12 ≠ 7/15

2/6 = - k/-12 उपयोग करने पर,

⇒ k = 24/6 =  4

∴ k = 4 पर, समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 का कोई हल नहीं है।

व्याख्या:

b को A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।

A_3x3 लेने पर, तब [A : b]_3x4, अर्थात, संवर्धित आव्यूह में 4 सदिश हैं।

लेकिन रैंक के गुण से, हमारे पास \(\rho (A:b)\leq 3\) है।

जो निश्चित रूप से 4 से कम है।

तो [A : b] में L.D. सदिशों के समुच्चय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आव्यूह b को आव्यूह A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।

सही विकल्प (3) है।