Probability Density Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability Density Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है

f(x) = 1/√2πe-x2/2dx

सूत्र

$E\left(y\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}yf\left(x\right)dx$

गणना 

$E\left(y\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}yf\left(x\right)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(x+1\right)1/\surd 2\pi$(e^-x2/2dx

⇒ (1/√2π)${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(x+1\right)$e^-x2/2dx

⇒ E(y) = (1/√2π)$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$x × e^-x2/2dx + (1/√2π)($\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$e^-x2/2dx

⇒ चूंकि, x × e^-x2/2dx k का विषम फलन है

∴ (1/2√2π)($\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$e^-x2/2dx = 0

⇒ E(y) = (1/2√2π)($\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$e^-x2/2dx

⇒ (1/√2π) × √2π = 1

मानक समाकलन का प्रयोग करने पर हमारे पास है 

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$e^-x2/2dx = √2π 

सूत्र 

E(x/y = 1) = ∑x_j P(x = xy/y = 1

गणना

सूत्र के अनुसार

⇒ 1 × (0.4/0.3)

⇒ 4/3

∴ E(x|y = 1), 4/3 है। 

दिया गया है

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}3x^2,& o\le x\le 1\\ 0,& elsewhere\end{array}$

गणना 

P(X < a) = 1/a² = ${\int }_0^{a}f\left(x\right)dx=1/2$

⇒ $3{\int }_0^a$x²dx = 1/2

⇒ 3[x³/3]^a₀ = 1/2

⇒ 3 × (a³/3 - 0) = 1/2

⇒ a³ = 1/2

∴ a का मान इस प्रकार कि P[x ≤ a] = P[x > a], (1/2)^1/3 है। 

दिया गया है

f(x) = k.|x|, यदि x = - 2, 1, 3

         0 अन्यथा

सूत्र 

विचरण = E(x²) - (E(x))²

संकल्पना

कुल प्रायिकता = 1

गणना

$\sum _{x=-2}f\left(x\right)+\sum _{x=1}f\left(x\right)+\sum _{x=3}f\left(x\right)=1$

⇒ $k\sum _{x=-2}\left|X\right|+k\sum _{x=1}\left|X\right|+k\sum _{x=3}\left|X\right|=1$

⇒ k|-2| + k|1| + k|3| = 1

⇒ 2k + k + 3k = 1

⇒ k = 1/6

हम जानते हैं कि

जहां x = E(x2) - (E(x))²

E(x) = ∑xf(x)

⇒ E(x) = $\sum _{x=-2}xf\left(x\right)+\sum _{x=1}xf\left(x\right)+\sum _{x=3}xf\left(x\right)$

⇒ E(x) = $1/6\sum _{x=-2}x\left|x\right|+1/6\sum _{x=1}x\left|x\right|+1/6\sum _{x=3}x\left|x\right|$

⇒ E(x) = 1/6[ -2 × 2 + 1 × 1 + 3 × 3]

⇒ E(x) = 1/6[6]

⇒ E(x) = 1

अब E(x²) = ∑x²f(x)

⇒ E(x2) = $\sum _{x=-2}$x²f(x) + $\sum _{x=1}$x²f(x) + $\sum _{x=3}$x²f(x)

⇒ E(x2) =1/6[ $\sum _{x=-2}$x²|x| + $\sum _{x=1}$x²|x| + $\sum _{x=3}$x²|x|

⇒ E(x2) = 1/6[(-2)² × 2 + 1² × 1 + 3² × 3]

⇒ E(x2) = 1/6(8 + 1 + 27) = 6

⇒ विचरण = 6 - (1)²

∴ विचरण 5 है। 

दिया गया है

पद = -2, 2, 5, 9, -9, 7, -7

प्रायिकता घनत्व फलन = $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\left(X-\theta \right)},& x>\theta \\ 0& elsewhere\end{array}$

सूत्र

संभाविता फलन इस प्रकार है

$L\left(x;\theta \right)=\sum _{i=1}^n$f(x_i; θ)

गणना

L(x; θ) = $\sum _{i=1}^n$e^{-(x - θ)}

दोनों ओर log लेने पर 

⇒ Log L(x; θ) = $\sum _{i=1}^n$log($\sum _{i=1}^n$e^{-(x - θ)}

⇒ $\sum _{i=1}^n$(x_i - θ ])loge)

Log L θ के सबंध में अवकलनीय नहीं है

अधिकतम संभाविता सिद्धांत के अनुसार

Log l को अधिकतम करना होगा

Log L अधिकतम है यदि ∑(x_i - θ) न्यूनतम है

स्थिरांक θ का माध्य विचलन = $\sum _{i=1}^n$(x_i - θ)

जब x विषम हो तो θ = माध्यिका(x₁, x₂, ----x_n)

∴ (-2, 2, 5, 9, -9, 7, -7) की माध्यिका 9 है।

∴ तब θ का अधिकतम संभाविता आकलन 9 है।

दिया गया है

f(x) = { ke-3x, x > o

          { 0, elsewhere

प्रयुक्त संकल्पना

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ + $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 1

गणना

दिए गए भाग के अनुसार 

⇒$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 0

⇒ 0 + $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 0

⇒ ∫ke-3xdx = 1

⇒ k[-e-3x/3]

⇒ -k/3[e-∞- e0] = 1

⇒ -k/3(0 – 1) = 1

⇒ k./3 = 1

∴ PDF के लिए k का मान 3 है

दिया गया है

PMF(x) = 1/2^x, x = 1, 2, 3 -----

सूत्र

P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4)

गणना

P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4)

⇒ 1 – [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)]

⇒ 1 – [1/2¹ + ½²  + ½³ + ½⁴]

⇒ 1 – [1/2 + ¼ + 1/8 + 1/16]

⇒ 1 – [(8 + 4 + 2 + 1)/16]

⇒ 1 – [15/16]

⇒ (16 – 15)/16

∴ P(X > 4) का मान 1/16 है। 

प्रायिकता द्रव्यमान फलन या PMF को क्रमित युग्म [x, f(x)] के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि प्रत्येक संभावित परिणाम x के लिए f(x) निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है

F(x) ≥ 0

∑ f(x) = 1

संकल्पना:

यदि f(x) यादृच्छिक चर x के लिए प्रायिकता घनत्व फलन है तब,

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=1$

गणना:

हमें एक प्रायिकता घनत्व फलन दिया गया है

$f\left(x\right)=K\cdot \frac{1}{1+x^2}forx\in \left(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{K}{1+x^2}dx$

$=K{\left[{\tan }^{-1}x\right]}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}=1$

$=K\left[\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]=\mathrm{\infty }=1$

⇒ K(π) = 1

दिया है

F(x) = e^-x

गणना

$Q_3={\displaystyle {\int }_0^{Q_3}{e}^{-x}dx={\displaystyle \frac{75}{100}}}$ के लिये

⇒ ¾ = (-e^-x)^Q3₀

⇒ ¾ = (-1 – e^-Q3)

⇒ ¼ = e^-Q3

⇒Q₃ = In 4

$Q_1={\displaystyle {\int }_0^{Q_1}{e}^{-x}dx={\displaystyle \frac{25}{100}}}$ के लिये

⇒ (-e^-xdx)^Q1₀ = 1/4

⇒ (- 1 – e^-Q1) = ¼

⇒ Log Q₁ = ¾

Q₁ = In 4/3

⇒ अन्तःचतुर्थक परास = Q₃ – Q₁

⇒ In 4 – In 4/3

⇒ In  4 –(In 4 – In 3)

∴ अन्तःचतुर्थक परास In 3 है।

प्रायिकता घनत्व फलन = ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1}$

संकल्पना:

किसी दिए गए प्रायिकता घनत्व फलन f(x) के मान्य होने के लिए, पूर्ण परास में इसका समाकलन 1 के बराबर होना चाहिए।

गणितीय रूप से, इसे निम्न को संतुष्ट करना चाहिए:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)=1$

अनुप्रयोग:

दिया है f(x) = a + bx, 0 ≤ x ≤ 1

दिए गए घनत्व फलन के मान्य होने के लिए, इसे निम्न को संतुष्ट करना होगा:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}a+bx=1$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(a+bx\right)dx=1$

$\begin{array}{l}ax+{\frac{b{x}^2}{2}]}_0^1=1\\ a+\frac{b}{2}=1\end{array}$

उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने के लिए:

a = 0.5, b = 1

व्याख्या

5वें दशमक के लिए = $$

गणना

$$ = = ¾(2x²/2 – x³/3)₀^d5

⇒ 5/10 = ¾(2D₅²/2 – D₅³/3)

समीकरण में, D₅ का मान रखने पर, समीकरण को संतुष्ट करने वाला मान इस प्रश्न का उत्तर हो जाएगा

विकल्प 1 – (1)

⇒ ¾(2 × (1)²/2_– (1)³/3)

⇒ ¾(1 – 1/3

⇒ ¾(2/3) = ½ या 5/10

∴ विकल्प 1 समीकरण को संतुष्ट करता है इसलिए X का 5वाँ दशमक बिंदु 1 है।                                                                                  

Calculation:

∫f(x)dx

∫π/10 (sinπx/5)   dx

let $\frac{\pi x}{5}=t$

For x = 0, t = 0

For x = 5, t = π

$\frac{\pi dx}{5}=dt$

$\frac{\pi dx}{5}=dt$

$dx=\frac{5dt}{\pi }$

The limits of the above integration will be from 0 to π

$\frac{-1}{2}(cost){|}_0^{\pi }$

$-\frac{1}{2}(cos\pi -cos0)$

= 1

दिया है

F(x) = 6/5(x² + x); 0 ≤ x ≤ 1

गणना

F(x) = ${\int }_0^{x}f\left(x\right)dx$

⇒ $$6/5(x² + x)dx

समाकलन के बाद हमें प्राप्त,

⇒ f(0.5) = (6/5)((0.5)3/3 - (0.5)2/2)

⇒ (6/5)(0.25/6 + 0.75/6)

⇒ (6/5)(1/6)

⇒ 1/5

∴ F(0. 5) का मान 1/5 है।

दिया गया है

f(x) = k.|x|, यदि x = - 2, 1, 3

         0 अन्यथा

सूत्र 

विचरण = E(x²) - (E(x))²

संकल्पना

कुल प्रायिकता = 1

गणना

$\sum _{x=-2}f\left(x\right)+\sum _{x=1}f\left(x\right)+\sum _{x=3}f\left(x\right)=1$

⇒ $k\sum _{x=-2}\left|X\right|+k\sum _{x=1}\left|X\right|+k\sum _{x=3}\left|X\right|=1$

⇒ k|-2| + k|1| + k|3| = 1

⇒ 2k + k + 3k = 1

⇒ k = 1/6

हम जानते हैं कि

जहां x = E(x2) - (E(x))²

E(x) = ∑xf(x)

⇒ E(x) = $\sum _{x=-2}xf\left(x\right)+\sum _{x=1}xf\left(x\right)+\sum _{x=3}xf\left(x\right)$

⇒ E(x) = $1/6\sum _{x=-2}x\left|x\right|+1/6\sum _{x=1}x\left|x\right|+1/6\sum _{x=3}x\left|x\right|$

⇒ E(x) = 1/6[ -2 × 2 + 1 × 1 + 3 × 3]

⇒ E(x) = 1/6[6]

⇒ E(x) = 1

अब E(x²) = ∑x²f(x)

⇒ E(x2) = $\sum _{x=-2}$x²f(x) + $\sum _{x=1}$x²f(x) + $\sum _{x=3}$x²f(x)

⇒ E(x2) =1/6[ $\sum _{x=-2}$x²|x| + $\sum _{x=1}$x²|x| + $\sum _{x=3}$x²|x|

⇒ E(x2) = 1/6[(-2)² × 2 + 1² × 1 + 3² × 3]

⇒ E(x2) = 1/6(8 + 1 + 27) = 6

⇒ विचरण = 6 - (1)²

∴ विचरण 5 है। 

प्रयुक्त अवधारणा

माध्यिका $\int f\left(x\right)dx$के लिए =  50/100 या ½

सीमा – 3 से 5 तक हैं 

⇒ $\int f\left(x\right)dx=$${\int }_{-3}^5\frac{1}{8}dx$

⇒ (1/8)(x)⁵_-3

⇒ 1/8[5 – (- 3)]

∴ X के वितरण की माध्यिका 1 है।