Linear Independent MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Independent - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

सदिशों का समुच्चय {v1, v2...vk} को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि c1, c2, ..., ck ∈ \(\mathbb R\) शून्येतर अदिश राशियाँ विद्यमान हैं, ऐसी कि

c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0

अन्यथा इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है।

व्याख्या:

T : ℝn → ℝn एक रैखिक रूपांतरण है, जहाँ n ≥ 2.

k ≤ n के लिए, मान लीजिये E = {v1, v2...vk} ⊆ ℝn और F = {Tv1, Tv2...Tvk}.

विकल्प (1): मान लीजिये E रैखिक रूप से स्वतंत्र है

एक रैखिक रूपांतरण T ≡ 0 पर विचार कीजिये

तब {Tv1, Tv2...Tvk} = {0, 0, ..., 0} रैखिक रूप से आश्रित है।

विकल्प (1) गलत है

विकल्प (2): मान लीजिये F रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

यदि संभव हो तो मान लीजिये E = {v1, v2...vk} रैखिक रूप से आश्रित है। तब c₁, c₂, ..., c_k ∈ \(\mathbb R\) शून्येतर अदिश राशियाँ विद्यमान हैं, ऐसी कि

c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_kv_k = 0

दोनों पक्षों में रैखिक रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है

c1 T(v1) + c2 T(v2) + ... + ckT(vk) = 0 जहाँ सभी c_i, i = 1, 2, .., k शून्य नहीं हैं।

इसलिए, F = {Tv1, Tv2...Tvk} भी रैखिक रूप से आश्रित है जो हमारी धारणा का विरोधाभास है।

विकल्प (2) सही है और विकल्प (4) गलत है

विकल्प (3): E = {v1, v2...vk} रैखिक रूप से स्वतंत्र है

मान लीजिये T ≡ I

तब {Tv1, Tv2...Tvk} = {v1, v2...vk} रैखिक रूप से स्वतंत्र है

विकल्प (3) गलत है

संकल्पना:

आधार: इसे स्थान में सदिशों के उस उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं अर्थात् इसे किसी अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

विस्तृति: इसे स्थान के भीतर रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।

R⁴ : यह 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के स्थान को दर्शाता है।

विश्लेषण:

1) R⁴ से अभिप्रेत है कि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं। अतः यह आवश्यक नहीं है कि ये सदिश R⁴ में फैले हों। (सत्य कथन)

2) ये सभी सदिश रैखिकतः स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिकतः स्वतंत्र सदिश हैं। (सत्य कथन)

3) इन सदिशों में से कोई भी चार R4 के लिए आधार नहीं बना सकते क्योंकि केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश R⁴ के लिए एक आधार बना सकते हैं। 6 सदिशों में से केवल 4 सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं। तो, यह कथन गलत है। (गलत कथन)

4) यदि {v1, v3, v5, v6}, R4 में फैलते हैं इसका अर्थ है कि सदिश {v1, v3, v5, v6} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं क्योंकि विस्तृति रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन को दर्शाती है इसलिए यह R⁴ के लिए एक आधार बनाता है। (सत्य कथन)

संकल्पना:

दिया गया आव्यूह एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है।

ऊपरी/निचले/विकर्ण आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक मान विकर्ण तत्व होते हैं।

गणना:

विकर्ण तत्व 3, 0, 2 हैं

इसलिए अभिलाक्षणिक मान हैं

λ1 = 2

λ2 = 0

λ3 = 3

संकल्पना:

ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह या निचली त्रिभुजाकार आव्यूह के अभिलक्षणिक मान केवल आव्यूह के विकर्ण अवयव होते हैं। 

गणना:

नीचे दिए गए आव्यूह में,

\(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

विकर्ण अवयव 1, 1, और 1 हैं, इसलिए यहाँ केवल एक अलग अभिलक्षणिक मान अर्थात् λ = 1 है। 

हम इसकी गणना |A - λI| = 0 लागू करके भी कर सकते हैं, जहाँ A कोई वर्ग आव्यूह है। इस स्थिति में,

|P - λI| = 0 से निम्न प्राप्त होता है 

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&1&0\\ 0&{1 - \lambda }&1\\ 0&0&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right) = 0\)

⇒ λ = 1 केवल अलग अभिलक्षणिक मान है। 

महत्वपूर्ण बिंदु:

कृप्या अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश के सभी गुणों को याद रखे। सूत्र को लागू ना करे। यह अधिक समय-लेने वाला होगा। 

अभिलक्षणिक मान के गुण:

• आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का योग आव्यूह A के अभिलक्षणिक मान के पथ के बराबर होता है। 
• आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों के सारणिक के बराबर होता है। 
• यदि λ आव्यूह A का अभिलक्षणिक मान है, तो λn आव्यूह An का अभिलक्षणिक मान होगा। 
• यदि λ आव्यूह A का अभिलक्षणिक मान है, तो kλ आव्यूह kA का अभिलक्षणिक मान होगा जहाँ k अदिश है। 

संकल्पना:

आधार: इसे स्थान में सदिशों के उस उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं अर्थात् इसे किसी अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

विस्तृति: इसे स्थान के भीतर रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।

R⁴ : यह 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के स्थान को दर्शाता है।

विश्लेषण:

1) R⁴ से अभिप्रेत है कि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं। अतः यह आवश्यक नहीं है कि ये सदिश R⁴ में फैले हों। (सत्य कथन)

2) ये सभी सदिश रैखिकतः स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिकतः स्वतंत्र सदिश हैं। (सत्य कथन)

3) इन सदिशों में से कोई भी चार R4 के लिए आधार नहीं बना सकते क्योंकि केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश R⁴ के लिए एक आधार बना सकते हैं। 6 सदिशों में से केवल 4 सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं। तो, यह कथन गलत है। (गलत कथन)

4) यदि {v1, v3, v5, v6}, R4 में फैलते हैं इसका अर्थ है कि सदिश {v1, v3, v5, v6} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं क्योंकि विस्तृति रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन को दर्शाती है इसलिए यह R⁴ के लिए एक आधार बनाता है। (सत्य कथन)

संकल्पना:

ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह या निचली त्रिभुजाकार आव्यूह के अभिलक्षणिक मान केवल आव्यूह के विकर्ण अवयव होते हैं। 

गणना:

नीचे दिए गए आव्यूह में,

\(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

विकर्ण अवयव 1, 1, और 1 हैं, इसलिए यहाँ केवल एक अलग अभिलक्षणिक मान अर्थात् λ = 1 है। 

हम इसकी गणना |A - λI| = 0 लागू करके भी कर सकते हैं, जहाँ A कोई वर्ग आव्यूह है। इस स्थिति में,

|P - λI| = 0 से निम्न प्राप्त होता है 

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&1&0\\ 0&{1 - \lambda }&1\\ 0&0&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right) = 0\)

⇒ λ = 1 केवल अलग अभिलक्षणिक मान है। 

महत्वपूर्ण बिंदु:

कृप्या अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश के सभी गुणों को याद रखे। सूत्र को लागू ना करे। यह अधिक समय-लेने वाला होगा। 

अभिलक्षणिक मान के गुण:

• आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का योग आव्यूह A के अभिलक्षणिक मान के पथ के बराबर होता है। 
• आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों के सारणिक के बराबर होता है। 
• यदि λ आव्यूह A का अभिलक्षणिक मान है, तो λn आव्यूह An का अभिलक्षणिक मान होगा। 
• यदि λ आव्यूह A का अभिलक्षणिक मान है, तो kλ आव्यूह kA का अभिलक्षणिक मान होगा जहाँ k अदिश है। 

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&5\\ 0&5&6\\ 0&{ - 6}&5 \end{array}} \right]\) 

आइगेन मान अभिलक्षणिक समीकरण के मूल हैं।

⇒ |A - λ I| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&{ - 1}&5\\ 0&{5 - \lambda }&6\\ 0&{ - 6}&{5 - \lambda } \end{array}} \right| = 0\)

\(\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {5 - \lambda } \right)}^2} + 36} \right] = 0\)

⇒ λ =1 और (5 – λ) ² + 36 = 0

(5 - λ) ² + 36 = 0

⇒ 25 + λ² – 10λ + 36 = 0

⇒ λ² – 10λ + 61 = 0

\(\Rightarrow \lambda = \frac{{10 \pm \sqrt {100 - 4\left( {61} \right)\;\left( 1 \right)\;} }}{{2\left( 1 \right)\;}}\)

\(= \frac{{10 \pm \sqrt {100 - 244} }}{2} = 5 \pm 6i\)

⇒ λ = 1, 5± 6i

वैकल्पिक दृष्टिकोण​:

आइगेन मानों के गुणों को निम्न रूप से बनाया जाता है​

i) आइगेन मानों का योग = आव्यूह का ट्रेस​

ii) आइगेन मानों का गुणनफल = आव्यूह का सारणिक

माना आइगेन मान λ₁, λ₂ और λ₃ है

λ₁ + λ₂ + λ₃ = A का ट्रेस​ = 1 + 5 + 5 = 11

λ₁λ₂λ₃ = A का सारणिक = 1(25 – (-36)) = 41

संकल्पना:

आधार: इसे स्थान में सदिशों के उस उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं अर्थात् इसे किसी अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन के समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

विस्तृति: इसे स्थान के भीतर रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।

R⁴ : यह 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के स्थान को दर्शाता है।

विश्लेषण:

1) R⁴ से अभिप्रेत है कि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश हैं। अतः यह आवश्यक नहीं है कि ये सदिश R⁴ में फैले हों। (सत्य कथन)

2) ये सभी सदिश रैखिकतः स्वतंत्र नहीं हैं क्योंकि 6 सदिशों में से केवल 4 रैखिकतः स्वतंत्र सदिश हैं। (सत्य कथन)

3) इन सदिशों में से कोई भी चार R4 के लिए आधार नहीं बना सकते क्योंकि केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश R⁴ के लिए एक आधार बना सकते हैं। 6 सदिशों में से केवल 4 सदिश रैखिकतः स्वतंत्र हैं। तो, यह कथन गलत है। (गलत कथन)

4) यदि {v1, v3, v5, v6}, R4 में फैलते हैं इसका अर्थ है कि सदिश {v1, v3, v5, v6} रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं क्योंकि विस्तृति रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के रैखिक संयोजन को दर्शाती है इसलिए यह R⁴ के लिए एक आधार बनाता है। (सत्य कथन)

संकल्पना:

यदि A क्रम n का कोई वर्ग आव्यूह है, तो हम आव्यूह [A – λI] बना सकते हैं, जहाँ I, n^वां क्रम इकाई आव्यूह है। इस आव्यूह का निर्धारक शून्य के बराबर है अर्थात |A – λI| = 0 को A का अभिलक्षणिक समीकरण कहते हैं।

अभिलक्षणिक समीकरण के मूल अभिलक्षणिक मान(आइगेन मान) या अव्यक्त मूल या आव्यूह A के अभिलक्षणिक मूल कहलाते हैं।

अभिलक्षणिक मानों(आइगेन मानों) के गुण:

एक आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का योग उस आव्यूह A के अनुरेख के बराबर होता है

एक आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल उस आव्यूह A के निर्धारक के बराबर होता है

गणना:

माना \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&0&0\\ 0&2&{ - 3}\\ 0&1&{ - 2} \end{array}} \right]\)

|A – λI| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \lambda }&0&0\\ 0&{2 - \lambda }&{ - 3}\\ 0&1&{ - 2 - \lambda } \end{array}} \right| = 0\)

⇒ (3 – λ) [ (2 – λ) (-2 – λ) – (-3)] = 0

⇒ (3 – λ) [-4 – 2 λ + 2 λ + λ2 + 3] = 0

⇒ (3 – λ) [λ2 – 1] = 0

⇒ λ = 3, 1, –1

दिए गए आव्यूह के अभिलक्षणिक मान = 3, 1, -1

वैकल्पिक विधि:

दिए गए आव्यूह के अभिलक्षणिक मानों का योग = अनुरेख = 3 + 2 - 2 = 3

संकल्पना:

ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह या निचली त्रिभुजाकार आव्यूह के अभिलक्षणिक मान केवल आव्यूह के विकर्ण अवयव होते हैं। 

गणना:

नीचे दिए गए आव्यूह में,

\(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\)

विकर्ण अवयव 1, 1, और 1 हैं, इसलिए यहाँ केवल एक अलग अभिलक्षणिक मान अर्थात् λ = 1 है। 

हम इसकी गणना |A - λI| = 0 लागू करके भी कर सकते हैं, जहाँ A कोई वर्ग आव्यूह है। इस स्थिति में,

|P - λI| = 0 से निम्न प्राप्त होता है 

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&1&0\\ 0&{1 - \lambda }&1\\ 0&0&{1 - \lambda } \end{array}} \right| = 0 \Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right)\left( {1 - \lambda } \right) = 0\)

⇒ λ = 1 केवल अलग अभिलक्षणिक मान है। 

महत्वपूर्ण बिंदु:

कृप्या अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश के सभी गुणों को याद रखे। सूत्र को लागू ना करे। यह अधिक समय-लेने वाला होगा। 

अभिलक्षणिक मान के गुण:

• आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का योग आव्यूह A के अभिलक्षणिक मान के पथ के बराबर होता है। 
• आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल आव्यूह A के अभिलक्षणिक मानों के सारणिक के बराबर होता है। 
• यदि λ आव्यूह A का अभिलक्षणिक मान है, तो λn आव्यूह An का अभिलक्षणिक मान होगा। 
• यदि λ आव्यूह A का अभिलक्षणिक मान है, तो kλ आव्यूह kA का अभिलक्षणिक मान होगा जहाँ k अदिश है। 

संकल्पना:

दिया गया आव्यूह एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है।

ऊपरी/निचले/विकर्ण आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक मान विकर्ण तत्व होते हैं।

गणना:

विकर्ण तत्व 3, 0, 2 हैं

इसलिए अभिलाक्षणिक मान हैं

λ1 = 2

λ2 = 0

λ3 = 3

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&5\\ 0&5&6\\ 0&{ - 6}&5 \end{array}} \right]\) 

आइगेन मान अभिलक्षणिक समीकरण के मूल हैं।

⇒ |A - λ I| = 0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \lambda }&{ - 1}&5\\ 0&{5 - \lambda }&6\\ 0&{ - 6}&{5 - \lambda } \end{array}} \right| = 0\)

\(\Rightarrow \left( {1 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {5 - \lambda } \right)}^2} + 36} \right] = 0\)

⇒ λ =1 और (5 – λ) ² + 36 = 0

(5 - λ) ² + 36 = 0

⇒ 25 + λ² – 10λ + 36 = 0

⇒ λ² – 10λ + 61 = 0

\(\Rightarrow \lambda = \frac{{10 \pm \sqrt {100 - 4\left( {61} \right)\;\left( 1 \right)\;} }}{{2\left( 1 \right)\;}}\)

\(= \frac{{10 \pm \sqrt {100 - 244} }}{2} = 5 \pm 6i\)

⇒ λ = 1, 5± 6i

वैकल्पिक दृष्टिकोण​:

आइगेन मानों के गुणों को निम्न रूप से बनाया जाता है​

i) आइगेन मानों का योग = आव्यूह का ट्रेस​

ii) आइगेन मानों का गुणनफल = आव्यूह का सारणिक

माना आइगेन मान λ₁, λ₂ और λ₃ है

λ₁ + λ₂ + λ₃ = A का ट्रेस​ = 1 + 5 + 5 = 11

λ₁λ₂λ₃ = A का सारणिक = 1(25 – (-36)) = 41