Joint Probability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Joint Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

2 घटनाओं के परस्पर अनन्य होने के लिए

⇒ P(A ∩ B) = 0 ... (i)

⇒ और हम जानते है, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ... (ii)

समीकरण(i) और (ii) से

⇒ घटनाओं के परस्पर अनन्य होने के लिए, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

दिया गया है P(A) = 0.5, P(B) = 0.3

⇒ A या तो B की संभावना, जहां A और B परस्पर अनन्य घटनाये है = P (A) + P(B)

= 0.5 + 0.3

= 0.8

⇒ ना ही A ना ही B के होने की संभावना = \(P\overline {\left( {A\mathop \cup \nolimits B} \right)}\)

 = 1 - P (A∪B)

= 1 - 0.8

अवधारणा:

घटना से जुड़ी जानकारी घटना की संभावना के "व्युत्क्रमानुपाती” है।

एन्ट्रॉपी: सूचना की औसत मात्रा को "एंट्रॉपी" कहा जाता है।

\(H = \;\mathop \sum \limits_i {P_i}{\log _2}\left( {\frac{1}{{{P_i}}}} \right)\;bits/symbol\)

सूचना की दर = r.H

गणना:

दिया गया है कि: r = 24 परिणाम/सेकंड

\(P_1=\frac{1}{2}\) , \(P_2=\frac{1}{ 4}\) , \(P_3=\frac{1}{ 8}\) और \(P_4=\frac{1}{ 16}\)

\( H = \frac{1}{2}{\log _22} + \frac{1}{4}{\log_24};+ \frac{1}{8}{\log_28};+ \frac{1}{16}{\log_216};\)

H = 1.625 बिट्स/परिणाम

∴ सूचना की दर = r.H

Rs = 24 x 1.625

Rs = 39 बिट्स/सेकंड

व्याख्या-

दो डिस्क को घुमाकर प्राप्त किए जा सकने वाले योग 2 से 16 हैं (चूँकि 1+1 = 2 और 8+8 = 16)। प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हमें उन तरीकों की गणना करने की आवश्यकता है जिनसे हम 8 का योग प्राप्त कर सकते हैं, और फिर उसे संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करें।

परिणामों की कुल संख्या = 8X8= 64।

8 का योग प्राप्त करने के लिए, हमारे पास निम्नलिखित युग्म हो सकते हैं: (1,7), (2,6), (3,5),(4,4),(5,3),(6,2), (7,1)। यह हमें 7 युग्म देता है। हालाँकि, ध्यान दें कि युग्म (4, 4) केवल एक ही तरीके से हो सकता है (दोनों डिस्क 4 पर आती हैं), जबकि अन्य सभी युग्म दो तरीकों से हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, (1,7) और (7,1) अलग-अलग परिणाम हैं)। इसके परिणामस्वरूप 8 का योग प्राप्त करने के 7 तरीके हैं।

इस प्रकार योग 8 होने की प्रायिकता 7/64 है।

निष्कर्ष- विकल्प 4 सही उत्तर है।

अवधारणा :

सप्रतिबंध प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
\(P\left( {\frac{A}{B}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

अनुप्रयोग :

मान लीजिए घटना A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

A = पहले उछाल में चित मिलना

घटना B को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

B = दूसरे उछाल में चित आना

प्रश्न के अनुसार, हमें दूसरे उछाल में चित आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है जब

पहले उछाल में पहले ही चित आ चुका है, अर्थात, पहले उछाल में चित आने की संभावना होगी:

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

P(A) = P(निष्पक्ष सिक्का चुना गया है) × P(चित प्राप्त करना) + P(दो-चित वाला सिक्का चुना गया है) × P(चित प्राप्त करना)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)

\(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\)

अब, दोनों टॉस में चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

\(P\left( {A \cap B} \right) = \mathop {\mathop {\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {First\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \right)} \end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {second\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{2} \cdot 1} \right)} \end{array}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {when\;first\;fair}\\ {coin\;is\;tossed} \end{array}}\;\;}\limits_{} }\limits_\; + \underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {First\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{3} \cdot 1} \right)} \end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {second\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \right)} \end{array}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {When\;first\;double}\\ {headed\;coin\;is\;tossed} \end{array}}\)

\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\)

दिया गया है:

मान लीजिए A, B, C, 3 स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे P(A) = \(\frac{1}{3}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(C) = \(\frac{1}{4}\),

प्रयुक्त सूत्र:

P = [P(A) × P(B) × P(\(\overline{\text {C}}\))] + [P(A) × P(\(\overline{B}\)) × P(C)] + [P(\(\overline{A}\)) × P(B) × P(C)]

जहाँ,

P, 3 घटनाओं में से ठीक 2 घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता है।

 P(\(\overline{\text {C}}\)), P(\(\overline{B}\)) और P(\(\overline{A}\)) क्रमशः घटनाएँ A, B और C नहीं होने की प्रायिकता है।

P(\(\overline{X}\)) = 1 - P(X)

जहाँ, 

P(\(\overline{X}\)), घटना X नहीं होने की प्रायिकता है।

P(X), घटना X होने की प्रायिकता है।

गणना:

⇒ P = [\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) × (1 - \(\frac{1}{4}\))] + [\(\frac{1}{3}\) × (1 - \(\frac{1}{2}\)) × (\(\frac{1}{4}\))] + [(1 - \(\frac{1}{3}\)) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\)]

⇒ P = [\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{3}{4}\)] + [\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) × (\(\frac{1}{4}\))] + [(\(\frac{2}{3}\)) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\)]

⇒ P = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{24}\) + \(\frac{1}{12}\)

⇒ P = \(\frac{3+1+2}{24}\)

⇒ P = \(\frac{6}{24}\)

⇒ P = \(\frac{1}{4}\)

∴ 3 घटनाओं में से ठीक 2 घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। 

अवधारणा:

घटना से जुड़ी जानकारी घटना की संभावना के "व्युत्क्रमानुपाती” है।

एन्ट्रॉपी: सूचना की औसत मात्रा को "एंट्रॉपी" कहा जाता है।

\(H = \;\mathop \sum \limits_i {P_i}{\log _2}\left( {\frac{1}{{{P_i}}}} \right)\;bits/symbol\)

सूचना की दर = r.H

गणना:

दिया गया है कि: r = 24 परिणाम/सेकंड

\(P_1=\frac{1}{2}\) , \(P_2=\frac{1}{ 4}\) , \(P_3=\frac{1}{ 8}\) और \(P_4=\frac{1}{ 16}\)

\( H = \frac{1}{2}{\log _22} + \frac{1}{4}{\log_24};+ \frac{1}{8}{\log_28};+ \frac{1}{16}{\log_216};\)

H = 1.625 बिट्स/परिणाम

∴ सूचना की दर = r.H

Rs = 24 x 1.625

Rs = 39 बिट्स/सेकंड

प्रयुक्त अवधारणा

हम जानते हैं कि संयुक्त घनत्व की प्रायिकता \(\iint \)f_xy(xy)dxdy है 

गणना

\(\mathop \iint \limits_{x = 0y = 0}^{x = 1y = 1} \) (x² + Cy)dxdy = 1

समाकलन के बाद हमें मिलता है

⇒ (x³/3)¹₀ + C(y²/2)¹₀ = 1

⇒ (1/3) + (1/2)C = 1

⇒ (1/2)C = 1 – 1/3

⇒ C(1/2) = 2/3

⇒ C = 4/3

∴ C का मान 4/3 है। 

दिया गया है

P(x) = {x/15 ; x = 1, 2, 3, ----5

           {0 ;        अन्यथा

गणना

प्रायिकता P{1/2 < X < 5/2} जिसका अर्थ है कि, X = 1, 2 ही लागू हैं।

∴P(x = 1) = 1/15

∴ P(x = 2) = 2/15

⇒ P(x ) = p(x = 1) + p(x = 2)

⇒ p(x) = 1/15 + 2/15

∴ p(x) की प्रायिकता 3/15 या 1/5 है।

प्रयुक्त संकल्पना:-

एक अपेक्षित मान एक यादृच्छिक चर का "औसत" मान है। किसी यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान E(x) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसके माध्य के रूप में जाना जाता है।

किसी यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान या प्रत्याशा इस प्रकार दी गई है,

\(\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)\)

यहाँ, n प्रतिदर्श की कुल संख्या है।

स्पष्टीकरण:

चर x और उसके फलन के मानों के लिए दी गई तालिका निम्न है,

यहाँ, प्रतिदर्श की कुल संख्या 4 है। अतः n का मान 4 है।

तो, उपरोक्त सूत्र के साथ इन मानों के लिए एक यादृच्छिक चर x का माध्य इस प्रकार दिया जा सकता है,

\(E(x)=\sum_{\mathrm{i}=1}^4 \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)\)

मानों को रखने पर,

\(\begin{aligned} &\Rightarrow E(x) =0\left(\frac{1}{6}\right)+1\left(\frac{1}{3}\right)+2\left(\frac{1}{3}\right)+3\left(\frac{1}{6}\right) \\ &\Rightarrow E(x) =\frac{0+2+4+6}{6}=\frac{9}{6} \\ &\Rightarrow E(x)=\frac{3}{2}\\ &\Rightarrow E(x)=1.5 \end{aligned}\)

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर का माध्य 1.5 है।

अतः सही विकल्प 3 है।

अवधारणा:

प्रायिकता घनत्व फलन f(x) \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) = 1 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि f(x) एक प्रायिकता घनत्व फलन है, इसलिए

\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\) = 1.....(i)

(1): \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x+1)dx\)

= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए x + 1 = y ⇒ dx = dy)

= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए f(x + 1) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

विकल्प (1) गलत है।

(2): \(\int_{-\infty}^{\infty}f(2x)dx\)

= \(\frac12\)\(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए 2x= y ⇒ dx = \(\frac12\)dy)

= \(\frac12\) (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए f(2x) एक मान्य प्रायिकता घनत्व फलन नहीं है।

विकल्प (2) सही है।

(3): \(\int_{-\infty}^{\infty}2f(2x-1)dx\)

= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए 2x - 1 = y ⇒ 2dx = dy)

= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए 2f(2x - 1) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

विकल्प (3) गलत है।

(4): \(\int_{-\infty}^{\infty}3x^2f(x^3)dx\)

= \(\int_{-\infty}^{\infty}f(y)dy\) (मान लीजिए x³ = y ⇒ 3x²dx = dy)

= 1 (समीकरण (i) का उपयोग करके)

इसलिए 3x2f(x3) एक प्रायिकता घनत्व फलन है।

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा :

सप्रतिबंध प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
\(P\left( {\frac{A}{B}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

अनुप्रयोग :

मान लीजिए घटना A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

A = पहले उछाल में चित मिलना

घटना B को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

B = दूसरे उछाल में चित आना

प्रश्न के अनुसार, हमें दूसरे उछाल में चित आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है जब

पहले उछाल में पहले ही चित आ चुका है, अर्थात, पहले उछाल में चित आने की संभावना होगी:

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

P(A) = P(निष्पक्ष सिक्का चुना गया है) × P(चित प्राप्त करना) + P(दो-चित वाला सिक्का चुना गया है) × P(चित प्राप्त करना)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)

\(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\)

अब, दोनों टॉस में चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

\(P\left( {A \cap B} \right) = \mathop {\mathop {\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {First\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \right)} \end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {second\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{2} \cdot 1} \right)} \end{array}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {when\;first\;fair}\\ {coin\;is\;tossed} \end{array}}\;\;}\limits_{} }\limits_\; + \underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {First\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{3} \cdot 1} \right)} \end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {second\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \right)} \end{array}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {When\;first\;double}\\ {headed\;coin\;is\;tossed} \end{array}}\)

\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\)

दिया गया है:

मान लीजिए A, B, C, 3 स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे P(A) = \(\frac{1}{3}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(C) = \(\frac{1}{4}\),

प्रयुक्त सूत्र:

P = [P(A) × P(B) × P(\(\overline{\text {C}}\))] + [P(A) × P(\(\overline{B}\)) × P(C)] + [P(\(\overline{A}\)) × P(B) × P(C)]

जहाँ,

P, 3 घटनाओं में से ठीक 2 घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता है।

 P(\(\overline{\text {C}}\)), P(\(\overline{B}\)) और P(\(\overline{A}\)) क्रमशः घटनाएँ A, B और C नहीं होने की प्रायिकता है।

P(\(\overline{X}\)) = 1 - P(X)

जहाँ, 

P(\(\overline{X}\)), घटना X नहीं होने की प्रायिकता है।

P(X), घटना X होने की प्रायिकता है।

गणना:

⇒ P = [\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) × (1 - \(\frac{1}{4}\))] + [\(\frac{1}{3}\) × (1 - \(\frac{1}{2}\)) × (\(\frac{1}{4}\))] + [(1 - \(\frac{1}{3}\)) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\)]

⇒ P = [\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{3}{4}\)] + [\(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) × (\(\frac{1}{4}\))] + [(\(\frac{2}{3}\)) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\)]

⇒ P = \(\frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{24}\) + \(\frac{1}{12}\)

⇒ P = \(\frac{3+1+2}{24}\)

⇒ P = \(\frac{6}{24}\)

⇒ P = \(\frac{1}{4}\)

∴ 3 घटनाओं में से ठीक 2 घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। 

अवधारणा:

घटना से जुड़ी जानकारी घटना की संभावना के "व्युत्क्रमानुपाती” है।

एन्ट्रॉपी: सूचना की औसत मात्रा को "एंट्रॉपी" कहा जाता है।

\(H = \;\mathop \sum \limits_i {P_i}{\log _2}\left( {\frac{1}{{{P_i}}}} \right)\;bits/symbol\)

सूचना की दर = r.H

गणना:

दिया गया है कि: r = 24 परिणाम/सेकंड

\(P_1=\frac{1}{2}\) , \(P_2=\frac{1}{ 4}\) , \(P_3=\frac{1}{ 8}\) और \(P_4=\frac{1}{ 16}\)

\( H = \frac{1}{2}{\log _22} + \frac{1}{4}{\log_24};+ \frac{1}{8}{\log_28};+ \frac{1}{16}{\log_216};\)

H = 1.625 बिट्स/परिणाम

∴ सूचना की दर = r.H

Rs = 24 x 1.625

Rs = 39 बिट्स/सेकंड