Displacement Method of Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Displacement Method of Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

आघूर्ण वितरण विधि:

• 1932 में हार्डी क्रॉस द्वारा अनिर्धाय संरचनाओं का विश्लेषण करने के लिए इसका आविष्कार किया गया था। इस पद्धति में, जोड़ों पर आंतरिक आघूर्ण को वितरित और संतुलित किया जाता है जब तक कि जोड़ों को उनकी अंतिम या लगभग अंतिम स्थिति में नहीं घुमाया जाता।
• यह एक अनुमानित तरीका है।
•  यह विश्लेषण की एक विस्थापन विधि है।
• विश्लेषण की आघूर्ण वितरण विधि सभी बीम और फ्रेम पर लागू होती है।
• प्रक्रिया पुनरावृति और लागू करने में आसान है।
• परिणामों की सटीकता की डिग्री लगातार अनुमानों की संख्या पर निर्भर करती है।
• आघूर्ण वितरण पद्धति में, कैरीओवर आघूर्ण समान चिन्ह के साथ उसके संबंधित आघूर्ण के आधे के बराबर होता है।
• इसे 'विश्रांति विधि' भी कहते हैं।
• आघूर्ण वितरण पद्धति के लिए चिह्न परिपाटी ढलान-विक्षेपण पद्धति के लिए स्थापित के समान है; अर्थात्, किसी सदस्य के अंत में आघूर्ण को धनात्मक माना जाता है यदि वह सदस्य के अंत को दक्षिणावर्त और ऋृणात्मक माना जाता है यदि वह इसे वामावर्त घुमाता है।

आघूर्ण वितरण पद्धति के चरण इस प्रकार हैं;
1.निश्चित अंत्य आघूर्ण का पता लगाएं।
2.वितरण कारक निर्धारित करें [एक सदस्य के लिए वितरण कारक है = k = दृढ़ता]
3. आघूर्ण वितरण तालिका द्वारा आघूर्ण संतुलन
4.अध्यारोपण द्वारा बंकन आघूर्ण आरेख बनाना।

व्याख्या:

दिया गया है,

L= 5 मीटर

हम जानते हैं कि,

सदस्य दृढ़ता: जब दूर वाला सिरा हिन्जित होता है तो सदस्य AB की दृढ़ता= $=\frac{3EI}{L}$

इसलिए, दृढ़ता= $\frac{3EI}{5}=0.6EI$

Additional Information 

व्याख्या:

आघूर्ण वितरण विधि:

• 1930 में हार्डी क्रॉस द्वारा अनिर्धाय संरचनाओं का विश्लेषण करने के लिए इसका आविष्कार किया गया था। इस पद्धति में, जोड़ों पर आंतरिक आघूर्ण को वितरित और संतुलित किया जाता है जब तक कि जोड़ों को उनकी अंतिम या लगभग अंतिम स्थिति में नहीं घुमाया जाता।
• यह एक अनुमानित तरीका है।
•  यह विश्लेषण की एक विस्थापन विधि है।
• विश्लेषण की आघूर्ण वितरण विधि सभी बीम और फ्रेम पर लागू होती है।
• प्रक्रिया पुनरावृति और लागू करने में आसान है।
• परिणामों की सटीकता की डिग्री लगातार अनुमानों की संख्या पर निर्भर करती है।
• आघूर्ण वितरण पद्धति में, कैरीओवर आघूर्ण समान चिन्ह के साथ उसके संबंधित आघूर्ण के आधे के बराबर होता है।
• इसे 'विश्रांति विधि' भी कहते हैं।
• आघूर्ण वितरण पद्धति के लिए चिह्न परिपाटी ढलान-विक्षेपण पद्धति के लिए स्थापित के समान है; अर्थात्, किसी सदस्य के अंत में आघूर्ण को धनात्मक माना जाता है यदि वह सदस्य के अंत को दक्षिणावर्त और ऋृणात्मक माना जाता है यदि वह इसे वामावर्त घुमाता है।

आघूर्ण वितरण पद्धति के चरण इस प्रकार हैं;
1.निश्चित अंत्य आघूर्ण का पता लगाएं।
2.वितरण कारक निर्धारित करें [एक सदस्य के लिए वितरण कारक है = k = दृढ़ता]
3. आघूर्ण वितरण तालिका द्वारा आघूर्ण संतुलन
4.अध्यारोपण द्वारा बंकन आघूर्ण आरेख बनाना।

संकल्पना:

असंतुलित आघूर्ण​:

• विश्लेषण की यह विधि मानती है कि किसी संरचना में जोड़ों को शुरू में क्लैप या लॉक किया जाता है और फिर क्रमिक रूप से छोड़ा जाता है।
• एक बार एक जोड़ जारी होने के बाद, एक रोटेशन होता है, क्योंकि उस जोड़ में सदस्यों की मीटिंग के निश्चित अंतिम आघूर्ण का योग शून्य नहीं होता है।
• प्राप्त अंतिम आघूर्ण के योग का मान उस जोड़ पर असंतुलित आघूर्ण होता है।

कैरी-ओवर कारक:

• जोड़ पर मिलने वाले सदस्यों के छोर में दूसरे छोर पर एक आघूर्ण के कारण वितरित आघूर्ण है, जिन्हें निश्चित माना जाता है। दूसरे छोर पर इन प्रेरित आघूर्ण को कैरी-ओवर कारक कहा जाता है।
• दूसरे छोर पर इन प्रेरित आघूर्ण को कैरी-ओवर आघूर्ण कहा जाता है
• आमतौर पर COF धनात्मक होता है, लेकिन यह ऋणात्मक भी हो सकता है, जैसे केंटिलीवर बीम की  में (नीचे दिखाया गया है)

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम इस प्रकार हैं:

अवधारणा:

संयुग्मी बीम विधि: इस विधि को मूल बीम के समान विमा(लंबाई) के साथ काल्पनिक (या संयुग्मी) बीम के रूप में परिभाषित किया गया है,लेकिन संयुग्मी बीम पर किसी भी बिंदु पर भार EI द्वारा विभाजित उस बिंदु पर बंकन आघूर्ण के बराबर होता है।

इस विधि के अनुसार वास्तविक बीम में एक हिंजित, रोलर, स्थिर, मुक्त और मध्यवर्ती आलम्बन को क्रमश: हिंजित, रोलर, स्थिर, मुक्त और आंतरिक हिंज को संयुग्मी बीम में परिवर्तित किया जाता है।

एक बिंदु पर संयुग्म बीम में अपरूपण बल वास्तविक बीम में बिंदु पर एक ढलान है। एक बिंदु पर संयुग्म बीम में बंकन क्षण वास्तविक बीम में बिंदु पर विक्षेपण है।

सहायक बीम को बदलकर संयुग्म बीम बनाया जा सकता है

Important Points

अनिश्चित संरचनाओं के विश्लेषण की विधि:

विश्लेषण के बल विधि में :

सदस्यों और प्राथमिक समीकरणों में प्राथमिक अज्ञात बलों को इस पद्धति में विस्थापन और घुमाव (जो बल-विस्थापन समीकरणों द्वारा गणना की जाती है) के लिए लिखा जाता है।

इन समीकरणों को हल करके, निरर्थक बलों की गणना की जाती है। एक बार जब निरर्थक बलों की गणना की जाती है, तो शेष प्रतिक्रियाओं का मूल्यांकन संतुलन के समीकरणों द्वारा किया जाता है।

विश्लेषण की विस्थापन विधि में:

प्राथमिक अज्ञात विस्थापन हैं और शुरू में, बल-विस्थापन संबंधों की गणना की जाती है और बाद में, समीकरणों को इस पद्धति में संरचना की संतुलन स्थितियों को संतुष्ट करते हुए लिखा जाता है। अज्ञात विस्थापन का निर्धारण करने के बाद, अन्य बलों की गणना संगतता स्थितियों और बल-विस्थापन संबंधों को संतुष्ट करने के लिए की जाती है।

बल और विस्थापन के तरीकों के बीच अंतर

अवधारणा:

अग्रेनयन गुणक​:

• यदि एक आघूर्ण My किसी 1​ भाग के छोर में लगाया जाता है, तो एक निश्चित मात्रा में आघूर्ण, M_ji आगे निरोधित छोर पर उत्पन्न होता है।
• अग्रेनयन गुणक (C.O.F.) को इस रूप में परिभाषित किया जाता है, वह गुणक जिसके द्वारा केवल समर्थित छोर I, M_ij पर आघूर्ण को दूसरे छोर तक ले जाने के लिए गुणा किया जाता है, यानी Mji अग्रेनयन गुणक है।
• Mji = COF × Mij

∑ M = 0, हिंज के बारे में

M - RB×b = 0

RB = $\frac{M}{b}$--------- (1)

∑V = 0, R2 + RB = 0 (कोई लंबवत भार नहीं है)

आर ₂ = - $\frac{M}{b}$ -------- (2)

∑MA = ×a - M' = 0

M' = ×a--------(3)

COF =  =  = 

Important Points

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम इस प्रकार हैं:

अवधारणा :

सिरे पर आघूर्ण जिसका दूर का सिरा नियत है = $\frac{4EI}{L}{\theta }_A$

स्पष्टीकरण :

मान लीजिए, नियत बीम नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

अब, ढलान-विक्षेपण विधि के अनुसार

अंतिम सिरे का आघूर्ण A निम्न द्वारा दिया जाएगा -

$M_{AB}=M_{fAB}+\frac{2EI}{L}\left(2{\theta }_A+{\theta }_B-\frac{3\mathrm{\Delta }}{\mathrm{L}}\right)$

बीम की दी गई स्थितियों के लिए,

यहाँ,

EI – फ्लेक्सुरल दृढता

MfAB – A = 0 पर नियत सिरे का आघूर्ण (∵ बीम पर कोई भारण नहीं)

θB – B पर ढलान = 0 (∵ नियत सिरा)

θA – A पर ढलान

$\therefore M_{AB}=M_A=0+\frac{2EI}{L}\left(2{\theta }_A+0\right)=\frac{4EI}{L}{\theta }_A$

Additional Information

सिरे पर आघूर्ण जिसका दूर का सिरा नियत है = $\frac{3EI}{L}{\theta }_A$

व्याख्या:

आघूर्ण वितरण विधि:

इसे 1930 में हार्डी क्राॅस द्वारा अनिर्धारित संरचनाओं के विश्लेषण के लिए आविष्कृत किया गया था। इस विधि में, संधियों पर आंतरिक आघूर्ण संधियों के अंतिम या निकटतम अंतिम स्थिति पर घूर्णित होने तक वितरित और संतुलित रहते है।

• यह विश्लेषण की विस्थापन विधि है।
• प्रक्रम पुनरावर्ती और अनुप्रयोग में सरल होता है।
• आघूर्ण वितरण विधि में, आघूर्ण पर भार समान चिन्ह के साथ इसके संगत आघूर्ण के आधे के समान होता है।

आघूर्ण वितरण विधि के संगत चरण है;

1. स्थिर शीर्ष आघूर्ण घात कीजिए।
2. वितरण गुणांक निर्धारित कीजिए [एक सदस्य के लिए वितरण गुणांक = $\frac{k}{\sum k}$ होता है, k = दृढ़ता]
3. आघूर्ण वितरण सारणी द्वारा आघूर्ण को संतुलित करना।
4. अध्यारोपण द्वारा बंकन आघूर्ण आरेख बनाना।

संकल्पना:

असंतुलित आघूर्ण​:

• विश्लेषण की यह विधि मानती है कि किसी संरचना में जोड़ों को शुरू में क्लैप या लॉक किया जाता है और फिर क्रमिक रूप से छोड़ा जाता है।
• एक बार एक जोड़ जारी होने के बाद, एक रोटेशन होता है, क्योंकि उस जोड़ में सदस्यों की मीटिंग के निश्चित अंतिम आघूर्ण का योग शून्य नहीं होता है।
• प्राप्त अंतिम आघूर्ण के योग का मान उस जोड़ पर असंतुलित आघूर्ण होता है।

कैरी-ओवर कारक:

• जोड़ पर मिलने वाले सदस्यों के छोर में दूसरे छोर पर एक आघूर्ण के कारण वितरित आघूर्ण है, जिन्हें निश्चित माना जाता है। दूसरे छोर पर इन प्रेरित आघूर्ण को कैरी-ओवर कारक कहा जाता है।
• दूसरे छोर पर इन प्रेरित आघूर्ण को कैरी-ओवर आघूर्ण कहा जाता है
• आमतौर पर COF धनात्मक होता है, लेकिन यह ऋणात्मक भी हो सकता है, जैसे केंटिलीवर बीम की  में (नीचे दिखाया गया है)

कुछ महत्वपूर्ण परिणाम इस प्रकार हैं:

अवधारणा :

वितरण कारक:

• किसी विशेष सदस्य के लिए एक जोड़ पर वितरण कारक को उस सदस्य की कठोरता और उस जोड़ पर मिलने वाले सभी सदस्यों की कुल कठोरता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• सभी वितरण कारक मानों का योग हमेशा 1 होगा।

$D.F.=\frac{k_i}{\sum _{i=1}^n{k}_i}$

यहाँ,

ki – जोड़ पर i^वें मिलने वाले सदस्य की कठोरता जो नीचे दी गई है।

गणना :

OA की कठोरता $k_{OA}=\frac{4\times 2EI}{4}=\frac{8EI}{4}$

OB की कठोरता $k_{OB}=\frac{4\times 1.5EI}{4}=\frac{6EI}{L}$

OC की कठोरता $k_{OC}=\frac{3EI}{6}=\frac{3EI}{6}$

संकल्पना:

विश्लेषण की बल विधि में:

प्राथमिक रूप से सदस्यों में बल अज्ञात होते है और इस विधि में विस्थापन और घूर्णनों (जिन्हें बल-विस्थापन समीकरण द्वारा परिकलित किया जाता है) के लिए सुसंगत समीकरण लिखी जाती है।

इन समीकरणों को हल करने पर अतिरिक्त बल परिकलित होते है। एक बार अतिरिक्त बल परिकलित होने पर शेष अभिक्रियाओं का साम्यावस्था समीकरण द्वारा मूल्यांकन किया जाता है। 

विश्लेषण की विस्थापन विधि में:

प्राथमिक रूप से विस्थापन अज्ञात होते है और प्रारंभ में बल-विस्थापन संबंध परिकलित किया जाता है और क्रमागत रूप से इस विधि में संरचना की साम्य अवस्थाएँ को संतुष्ट करते हुए समीकरण लिखी जाती है। अज्ञात विस्थापन को निर्धारित करने के बाद, संगत अवस्थाओं और बल-विस्थापन संबंध को संतुष्ट करते हुए अन्य बलों को ज्ञात किया जाता है।

बल और विस्थापन विधियों के मध्य अंतर

संकल्पना:

दूर का छोर स्थिर होने पर दुर्नम्यता =

दुर्नम्यता जब दूर के छोर को पिन या रोलर किया जाता है =

गणना:

दिए गए बीम में, संधि A पर आलंब स्थिर है और संधि C पर रोलर आलंब है, इसलिए, दुर्नम्यता और COF होगी:

व्याख्या:

आघूर्ण वितरण विधि:

इसे 1930 में हार्डी क्राॅस द्वारा अनिर्धारित संरचनाओं के विश्लेषण के लिए आविष्कृत किया गया था। इस विधि में, संधियों पर आंतरिक आघूर्ण संधियों के अंतिम या निकटतम अंतिम स्थिति पर घूर्णित होने तक वितरित और संतुलित रहते है।

• यह विश्लेषण की विस्थापन विधि है।
• प्रक्रम पुनरावर्ती और अनुप्रयोग में सरल होता है।
• आघूर्ण वितरण विधि में, आघूर्ण पर भार समान चिन्ह के साथ इसके संगत आघूर्ण के आधे के समान होता है।

आघूर्ण वितरण विधि के संगत चरण है;

1. स्थिर शीर्ष आघूर्ण घात कीजिए।
2. वितरण गुणांक निर्धारित कीजिए [एक सदस्य के लिए वितरण गुणांक = $\frac{k}{\sum k}$ होता है, k = दृढ़ता]
3. आघूर्ण वितरण सारणी द्वारा आघूर्ण को संतुलित करना।
4. अध्यारोपण द्वारा बंकन आघूर्ण आरेख बनाना।

संकल्पना:

संपूर्ण लंबाई पर एक सरल समर्थित बीम केअरिंग U.D.L के लिए विक्षेपण द्वारा दिया जाता है,

	$\delta =\frac{5}{384}\frac{\omega {\ell }^4}{EI};\theta =\frac{\omega {\ell }^3}{24EI}$

गणना:

दिया हुआ,

दो सरल समर्थित बीम एक ही सामग्री से बने होते हैं और एक ही क्रॉस सेक्शन के होते हैं, दोनों बीम समान तीव्रता वाले भारों को समान रूप से वितरित करते हैं

L₁ = 2 m, δ₁ = 1 mm

L₂ = 4 m

2 मीटर लंबाई के बीम के लिए, ${\delta }_1=\frac{5}{384}\frac{W{L}_1^4}{EI}$

4 मीटर लंबाई के बीम के लिए, ${\delta }_2=\frac{5}{384}\frac{W{L}_2^4}{EI}$

$\frac{{\delta }_1}{{\delta }_2}=\frac{{\mathrm{L}}_1^4}{{\mathrm{L}}_2^4}$

${\delta }_2=\frac{{\delta }_1\times {\mathrm{L}}_2^4}{{\mathrm{L}}_1^4}=\frac{1\times {\left(4\right)}^4}{{\left(2\right)}^4}=16\mathrm{m}\mathrm{m}$

इसलिए 4 मीटर लंबाई के बीम में विक्षेपण 16 मिमी है।

महत्वपूर्ण बिंदु:

मानक परिणामों का उपयोग करते हुए विक्षेपण (θ) और ढलान (δ) गणना:

	$\delta =\frac{W{\ell }^4}{8EI},\theta =\frac{W{\ell }^3}{6EI}$
	$\delta =\frac{{\omega }_0{\ell }^4}{30EI};\theta =\frac{{\omega }_0{\ell }^3}{24EI}$
	$\delta =\frac{P{\ell }^3}{48EI};\theta =\frac{P{\ell }^2}{16EI}$
	$\delta =\frac{5}{384}\frac{\omega {\ell }^4}{EI};\theta =\frac{\omega {\ell }^3}{24EI}$
	$\delta =\frac{{\omega }_0{L}^4}{120EI};\theta =\frac{5}{192}\frac{{\omega }_0{\ell }^3}{EI}$
	${\theta }_1=\frac{M_0\ell }{3EI};{\theta }_2=\frac{M_0\ell }{6EI}$
	$\theta =\frac{M_0\ell }{4EI}$
	$\delta =\frac{1}{4}\left[\frac{P{\ell }^3}{48EI}\right]$
	$\delta =\frac{1}{5}\left[\frac{5}{384}\frac{{\omega }_0{\ell }^4}{EI}\right]$