Derivative as a Linear Transformation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Derivative as a Linear Transformation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Derivative as a Linear Transformation MCQ Objective Questions
Derivative as a Linear Transformation Question 1:
मानें कि f ∶ ℝn → ℝ, n ≥ 2, एक e2 फलन है जो ℝn के सभी x, y के लिए
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
संतुष्ट करता है। यहां ∇ प्रवण (gradient) दर्शाता है।
निम्न वक्त्रव्यों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) एक फलन f(x) को अवतल कहा जाता है यदि ∇f 0
(ii) प्रमेय: मान लीजिए कि f एक वास्तविक फलन है जो ℝ पर अवकलनीय है, ℝ पर परिबद्ध है और R पर उत्तल है तो f स्थिर है।
व्याख्या:
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
⇒
इसलिए ∇(f)(x), 0 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए
इसलिए f उत्तल फलन है।
विकल्प (2) सही है।
यदि f परिबद्ध है तो उपरोक्त प्रमेय (ii) से, f स्थिर है।
विकल्प (4) सही है।
Derivative as a Linear Transformation Question 2:
मान लीजिये
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 3:
मान लीजिए
g(x,y,z) = xy + yz + zx + x + y + z.
मान लीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
फलन
अब h का (0,0,0) के किसी विवृत प्रतिवेश में स्थानीय प्रतिलोम होगा यदि और केवल यदि D(h) (0,0,0) पर व्युत्क्रमणीय है।
[अव्यक्त फलन प्रमेय का उपयोग करते हुए]
D(g) = [ y+z+1, x+z+1, y+x+1 ]
D(g)(0, 0, 0) = [1, 1, 1]
अब D(h)(0, 0, 0) =
विकल्प (1) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (2) गलत है।
विकल्प (3) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (4) सही है।
Top Derivative as a Linear Transformation MCQ Objective Questions
Derivative as a Linear Transformation Question 4:
मान लीजिए
g(x,y,z) = xy + yz + zx + x + y + z.
मान लीजिए
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 4 Detailed Solution
व्याख्या:
फलन
अब h का (0,0,0) के किसी विवृत प्रतिवेश में स्थानीय प्रतिलोम होगा यदि और केवल यदि D(h) (0,0,0) पर व्युत्क्रमणीय है।
[अव्यक्त फलन प्रमेय का उपयोग करते हुए]
D(g) = [ y+z+1, x+z+1, y+x+1 ]
D(g)(0, 0, 0) = [1, 1, 1]
अब D(h)(0, 0, 0) =
विकल्प (1) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (1) गलत है।
विकल्प (2) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (2) गलत है।
विकल्प (3) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (3) सही है।
विकल्प (4) के लिए -
D(h)(0, 0, 0) =
इसलिए विकल्प (4) सही है।
Derivative as a Linear Transformation Question 5:
मानें कि f ∶ ℝn → ℝ, n ≥ 2, एक e2 फलन है जो ℝn के सभी x, y के लिए
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
संतुष्ट करता है। यहां ∇ प्रवण (gradient) दर्शाता है।
निम्न वक्त्रव्यों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Derivative as a Linear Transformation Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
(i) एक फलन f(x) को अवतल कहा जाता है यदि ∇f 0
(ii) प्रमेय: मान लीजिए कि f एक वास्तविक फलन है जो ℝ पर अवकलनीय है, ℝ पर परिबद्ध है और R पर उत्तल है तो f स्थिर है।
व्याख्या:
f(y) ≥ f(x) + ∇(f)(x)(y − x)
⇒
इसलिए ∇(f)(x), 0 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए
इसलिए f उत्तल फलन है।
विकल्प (2) सही है।
यदि f परिबद्ध है तो उपरोक्त प्रमेय (ii) से, f स्थिर है।
विकल्प (4) सही है।
Derivative as a Linear Transformation Question 6:
मान लीजिये
निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?