Covariance MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Covariance - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Key Points

• किसी जनसंख्या को तब स्थावर माना जाता है, जब समय के साथ, होने वाले जन्मों की संख्या प्रत्येक वर्ष में उस जनसंख्या में होने वाली मौतों की संख्या के सामान रहती है।
• जन्म और मृत्यु के बीच इस संतुलन के परिणामस्वरूप एक विस्तारित अवधि में जनसंख्या का आकार सुसंगत और अपरिवर्तित रहता है।

व्याख्या:

सहप्रसरण:

• यह दो वैरिएबलस के बीच संबंध की गणना करता है और यह भी बताता है कि एक वैरिएबल दूसरे में परिवर्तन की प्रतिक्रिया में कैसे बदलेगा।
• यदि मान सकारात्मक है, तो वैरिएबल के बीच एक सीधा संबंध होता है और यह मानते हुए कि अन्य सभी स्थितियां कांस्टेंट हैं, बेस वैरिएबल में वृद्धि या कमी के अनुसार वृद्धि या कमी होगी।

सह-संबंध:

• एक सहसंबंध के केवल तीन अलग-अलग मान होते हैं, अर्थात् 1, 0 और -1, और यह दोरैंडम वैरिएबल के बीच के लिंक को मापता है,
• जहां 1 सकारात्मक संबंध दर्शाता है, -1 नकारात्मक संबंध दर्शाता है और 0 दर्शाता है कि दो वैरिएबल एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।

करणीय संबंध: यह वह प्रभाव जिसके द्वारा एक घटना, प्रक्रिया या अवस्था, एक कारण, किसी अन्य घटना, प्रक्रिया या स्थिति, एक प्रभाव के उत्पादन में योगदान देता है, जहाँ कारण आंशिक रूप से प्रभाव के लिए उत्तरदायी होता है और आंशिक रूप से कारण पर निर्भर होता है।

संकल्पना :

दिए गए संयुक्त प्रायिकता बंटन के लिए X और Y के लिए सहप्रसरण का दिया गया मान है :

Cov( X,Y ) = E( XY ) - E( X )E( Y )

E( XY ) = $\sum _{ij}^{}{x}_i{y}_i{J}_{ij}$

गणना :

E( XY ) = $x_1{y}_1{J}_{11}+x_1{y}_2{J}_{12}..............x_3{y}_3{J}_{33}$

E( XY ) = $(1\times 1\times \frac{5}{24})+(1\times 2\times \frac{2}{24})+(2\times 1\times \frac{1}{24})+(2\times 2\times \frac{2}{24})=\frac{19}{24}$

Cov( X,Y ) = $\frac{19}{24}-(\frac{29}{24}\times \frac{18}{24})$

Cov( X,Y ) = $\frac{-11}{96}$

अवधारणा:

कुछ उपयोगी सूत्र हैं:

सहसंबंध गुणांक, r = $\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathrm{X},\mathrm{Y})}{{\sigma }_{\mathrm{x}}\times {\sigma }_{\mathrm{y}}}$

σ_x = √var X

गणना:

दिया हुआ, r = 0.8

Cov (X, Y) = 121

Var Y = 64

 r = $\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathrm{X},\mathrm{Y})}{{\sigma }_{\mathrm{x}}\times {\sigma }_{\mathrm{y}}}$

∴ 0.8 = $\frac{121}{{\sigma }_x\times \surd 64}$, चूँकि Var X = 64, तो σ_y = √64 = 8

∴ σ_x = 18.91

∴ √var X = 18.91

∴ var X = 357.59

अवधारणा:

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए हमें कई चरणों का पालन करना होगा:

1) ढलान m की गणना करें:

$\Rightarrow m=\frac{N\sum (xy)-\sum x\sum y}{N\sum (x^2)-(\sum x{)}^2}$

N अंकों की संख्या है।

2) अंतःखंड b की गणना करें:

$\Rightarrow b=\frac{\sum y-m\sum x}{N}$

3) रेखा का समीकरण है: y = mx + b

दिया हुआ:

∑ x = 24, ∑ y = 11, ∑ x2 = 202, ∑ xy = 84, ∑ y2 = 39 

और N = 4

विश्लेषण:

$m=\frac{N\sum (xy)-\sum x\sum y}{N\sum (x^2)-(\sum x{)}^2}$

$\Rightarrow m=\frac{(4\times 84)-(24\times 11)}{(4\times 202)-(24{)}^2}$

m = 72/232

अब,

$b=\frac{\sum y-m\sum x}{N}$

$\Rightarrow b=\frac{11-24m}{4}$

$\Rightarrow b=\frac{11-\frac{(72\times 24)}{232}}{4}$

$\Rightarrow b=\frac{824}{232\times 4}$

रेखा का समीकरण है:

$y={\displaystyle \frac{72}{232}}x+{\displaystyle \frac{824}{4\times 232}}$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{116}}(103+36x)$

अवधारणा:

कुछ उपयोगी सूत्र हैं:

सहसंबंध गुणांक, r = $\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathrm{X},\mathrm{Y})}{{\sigma }_{\mathrm{x}}\times {\sigma }_{\mathrm{y}}}$

σ_x = √var X

गणना:

दिया हुआ, r = 0.8

Cov (X, Y) = 121

Var Y = 64

 r = $\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathrm{X},\mathrm{Y})}{{\sigma }_{\mathrm{x}}\times {\sigma }_{\mathrm{y}}}$

∴ 0.8 = $\frac{121}{{\sigma }_x\times \surd 64}$, चूँकि Var X = 64, तो σ_y = √64 = 8

∴ σ_x = 18.91

∴ √var X = 18.91

∴ var X = 357.59

संकल्पना:

सहप्रसरण को यादृच्छिक चरों के युग्म के लिए परिभाषित किया जाता है जो एक दूसरे से जुड़े या संबंधित होते हैं। यह संगत माध्य से व्यक्तिगत विचलन का औसत गुणनफल है।

$\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{\Sigma }\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-{\mu }_{\mathrm{x}\mathrm{i}}\right)\left({\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}-{\mu }_{\mathrm{y}\mathrm{i}}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{n}}-\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{y}}{\mathrm{n}}\right)\end{array}$

गणना:

n = 9, ΣXi = 45, ΣYi = 44

$\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{n}}-\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{y}}{\mathrm{n}}\right)\end{array}$

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{263}{9}-\left(\frac{45}{9}\right)\left(\frac{44}{9}\right)=4.78$

व्याख्या

यदि x₁, x_{2--------------,}x_n N इकाइयों की एक सीमित जनसंख्या जो माध्य μ और विचरण σ2 के साथ आकार n की प्रतिस्थापन के बिना एक साधारण यादृच्छिक नमूना है सहविचरण(x_i, x_j) दिया गया है

∴ Cov(x_i, x_j) = σ²/(n – 1)

संकल्पना :

दिए गए संयुक्त प्रायिकता बंटन के लिए X और Y के लिए सहप्रसरण का दिया गया मान है :

Cov( X,Y ) = E( XY ) - E( X )E( Y )

E( XY ) = $\sum _{ij}^{}{x}_i{y}_i{J}_{ij}$

गणना :

E( XY ) = $x_1{y}_1{J}_{11}+x_1{y}_2{J}_{12}..............x_3{y}_3{J}_{33}$

E( XY ) = $(1\times 1\times \frac{5}{24})+(1\times 2\times \frac{2}{24})+(2\times 1\times \frac{1}{24})+(2\times 2\times \frac{2}{24})=\frac{19}{24}$

Cov( X,Y ) = $\frac{19}{24}-(\frac{29}{24}\times \frac{18}{24})$

Cov( X,Y ) = $\frac{-11}{96}$

अवधारणा:

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए हमें कई चरणों का पालन करना होगा:

1) ढलान m की गणना करें:

$\Rightarrow m=\frac{N\sum (xy)-\sum x\sum y}{N\sum (x^2)-(\sum x{)}^2}$

N अंकों की संख्या है।

2) अंतःखंड b की गणना करें:

$\Rightarrow b=\frac{\sum y-m\sum x}{N}$

3) रेखा का समीकरण है: y = mx + b

दिया हुआ:

∑ x = 24, ∑ y = 11, ∑ x2 = 202, ∑ xy = 84, ∑ y2 = 39 

और N = 4

विश्लेषण:

$m=\frac{N\sum (xy)-\sum x\sum y}{N\sum (x^2)-(\sum x{)}^2}$

$\Rightarrow m=\frac{(4\times 84)-(24\times 11)}{(4\times 202)-(24{)}^2}$

m = 72/232

अब,

$b=\frac{\sum y-m\sum x}{N}$

$\Rightarrow b=\frac{11-24m}{4}$

$\Rightarrow b=\frac{11-\frac{(72\times 24)}{232}}{4}$

$\Rightarrow b=\frac{824}{232\times 4}$

रेखा का समीकरण है:

$y={\displaystyle \frac{72}{232}}x+{\displaystyle \frac{824}{4\times 232}}$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{116}}(103+36x)$

Key Points

• किसी जनसंख्या को तब स्थावर माना जाता है, जब समय के साथ, होने वाले जन्मों की संख्या प्रत्येक वर्ष में उस जनसंख्या में होने वाली मौतों की संख्या के सामान रहती है।
• जन्म और मृत्यु के बीच इस संतुलन के परिणामस्वरूप एक विस्तारित अवधि में जनसंख्या का आकार सुसंगत और अपरिवर्तित रहता है।

अवधारणा:

कुछ उपयोगी सूत्र हैं:

सहसंबंध गुणांक, r = $\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathrm{X},\mathrm{Y})}{{\sigma }_{\mathrm{x}}\times {\sigma }_{\mathrm{y}}}$

σ_x = √var X

गणना:

दिया हुआ, r = 0.8

Cov (X, Y) = 121

Var Y = 64

 r = $\frac{\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(\mathrm{X},\mathrm{Y})}{{\sigma }_{\mathrm{x}}\times {\sigma }_{\mathrm{y}}}$

∴ 0.8 = $\frac{121}{{\sigma }_x\times \surd 64}$, चूँकि Var X = 64, तो σ_y = √64 = 8

∴ σ_x = 18.91

∴ √var X = 18.91

∴ var X = 357.59

संकल्पना:

सहप्रसरण को यादृच्छिक चरों के युग्म के लिए परिभाषित किया जाता है जो एक दूसरे से जुड़े या संबंधित होते हैं। यह संगत माध्य से व्यक्तिगत विचलन का औसत गुणनफल है।

$\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{\Sigma }\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-{\mu }_{\mathrm{x}\mathrm{i}}\right)\left({\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}-{\mu }_{\mathrm{y}\mathrm{i}}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{n}}-\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{y}}{\mathrm{n}}\right)\end{array}$

गणना:

n = 9, ΣXi = 45, ΣYi = 44

$\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}\mathrm{y}}{\mathrm{n}}-\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{y}}{\mathrm{n}}\right)\end{array}$

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{263}{9}-\left(\frac{45}{9}\right)\left(\frac{44}{9}\right)=4.78$

व्याख्या

यदि x₁, x_{2--------------,}x_n N इकाइयों की एक सीमित जनसंख्या जो माध्य μ और विचरण σ2 के साथ आकार n की प्रतिस्थापन के बिना एक साधारण यादृच्छिक नमूना है सहविचरण(x_i, x_j) दिया गया है

∴ Cov(x_i, x_j) = σ²/(n – 1)

संकल्पना :

दिए गए संयुक्त प्रायिकता बंटन के लिए X और Y के लिए सहप्रसरण का दिया गया मान है :

Cov( X,Y ) = E( XY ) - E( X )E( Y )

E( XY ) = $\sum _{ij}^{}{x}_i{y}_i{J}_{ij}$

गणना :

E( XY ) = $x_1{y}_1{J}_{11}+x_1{y}_2{J}_{12}..............x_3{y}_3{J}_{33}$

E( XY ) = $(1\times 1\times \frac{5}{24})+(1\times 2\times \frac{2}{24})+(2\times 1\times \frac{1}{24})+(2\times 2\times \frac{2}{24})=\frac{19}{24}$

Cov( X,Y ) = $\frac{19}{24}-(\frac{29}{24}\times \frac{18}{24})$

Cov( X,Y ) = $\frac{-11}{96}$