Coplanar Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Coplanar Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

समतलीय सदिश और अदिश त्रिक गुणनफल:

• तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। तीन सदिश A, B और C का अदिश त्रिक गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:
  A · (B x C) = 0
• इस स्थिति में, हमारे पास सदिश हैं:
  A = 6i + 4j + k,
  B = i + 4j + 2k,
  C = 7i + Xj + 3k
• X का मान ज्ञात करने के लिए, हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं, क्योंकि सदिश समतलीय हैं।
• सबसे पहले, B और C का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • B x C = |i j k|
    |1 4 2|
    |7 X 3|
  • सारणिक का प्रसार करें:
    B x C = (12 - 2X)i - (3 - 14)j + (X - 28)k = (12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k।
• अब, A का B x C के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • A · (B x C) = (6i + 4j + k) · [(12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k]
  • A · (B x C) = 6(12 - 2X) + 4(11) + 1(X - 28)
  • सरलीकरण करने के बाद:
    A · (B x C) = 72 - 12X + 44 + X - 28 = 88 - 11X।
• सदिशों के समतलीय होने के लिए, A · (B x C) = 0:
  • 88 - 11X = 0
  • X = 88 / 11 = 8

गणना:

दिए गए सदिश A = 6i + 4j + k, B = i + 4j + 2k, और C = 7i + Xj + 3k

सबसे पहले, B × C की गणना करें, फिर A · (B × C) की गणना करें। A · (B x C) = 0 सेट करें और X के लिए हल करें:

A · (B × C) = 88 - 11X = 0 → X = 8।

∴ X का मान 8 है।

∴ अतः सही उत्तर: विकल्प 2 (X = 8) है।

गणना

दो रेखाएँ समतलीय होती हैं यदि

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ l_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& 1& -k\\ k& 2& 1\end{array}\right|=0$

C₂ → C₂ + C₁, C₃ → C3 + C₁ लागू करने पर,

$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 1-k\\ k& k+2& 1+k\end{array}\right|=0$

⇒ 1[2 + 2k - (k + 2)(1 − k)] = 0

⇒ 2 + 2k - (-k² - k + 2) = 0

k² + 3k = 0 ⇒ k(k + 3) = 0

k = 0 या k = -3

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

सही विकल्प है: 1.49

हल: (ax + by + c₁ = 0) और (ax + by + c₂ = 0) के रूप की दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $[\text{Distance}=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}]$

• दो रेखाएँ दी गई हैं: $[2x+5y=7\text{and}2x+5y=15]$
• हम इन्हें मानक रूप में पुनः लिख सकते हैं: $[2x+5y-7=0\text{and}2x+5y-15=0]$
• यहाँ, (a = 2), (b = 5), (c₁ = -7) और (c₂ = -15)

चरण-दर-चरण गणना:

• दिए गए मानों को निम्न सूत्र में प्रतिस्थापित करें: $[\text{Distance}=\frac{|-15-(-7)|}{\sqrt{2^2+5^2}}]$
• अंश को सरल करें: [ |-15 + 7| = |-8| = 8 ]
• हर की गणना करें: $[\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}]$
• दूरी की गणना करें: $[\text{Distance}=\frac{8}{\sqrt{29}}]$
• हर को परिमेय बनाएँ: $[\text{Distance}=\frac{8\sqrt{29}}{29}]$
• गणना द्वारा अनुमानित मान निर्धारित करें: $[\text{Distance}\approx \frac{8\times 5.385}{29}][\approx \frac{43.08}{29}\approx 1.486]$

2 दशमलव स्थानों तक सन्निकटित: $[\text{Distance}\approx 1.49,\text{units}]$

संप्रत्यय:

तीन सदिशों ${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}},{\mathbf{v}}_{\mathbf{3}}$ का अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है

${\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}\cdot ({\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}\times {\mathbf{v}}_{\mathbf{3}})=0$

व्याख्या:

यह इन सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित आव्यूह के सारणिक को ज्ञात करने के लिए अनुवादित होता है

$\text{सारणिक}=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& -3& -5\\ 3& -4& a\end{array}\right|=0$

$\text{सारणिक}=2\left|\begin{array}{cc}-3& -5\\ -4& a\end{array}\right|-(-1)\left|\begin{array}{cc}1& -5\\ 3& a\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& -4\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{cc}-3& -5\\ -4& a\end{array}\right|=(-3)(a)-(-5)(-4)=-3a-20$

$\left|\begin{array}{cc}1& -5\\ 3& a\end{array}\right|=(1)(a)-(-5)(3)=a+15$

$\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& -4\end{array}\right|=(1)(-4)-(-3)(3)=-4+9=5$

इसलिए,

$\text{सारणिक}=2(-3a-20)-(-1)(a+15)+1(5)$=0

⇒ $2(-3a-20)+(a+15)+5$ = 0

⇒ $-6a-40+a+15+5$ = 0

⇒ $-5a-20.$ = 0

⇒ $a=-4$

इसलिए सही विकल्प विकल्प 2 है।

संकल्पना:

बिंदु (4, 2, k) से गुजरने वाली दिशा अनुपात (1, 1, 2) वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है

$\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$

3-D में तल का समीकरण: 2 x - 4y + z = 7,

चूंकि दी गई रेखा दिए गए तल पर स्थित है, इसलिए जिस बिंदु से होकर रेखा गुजर रही है , वह भी दिए गए तल पर स्थित होगी।

गणना:

यहाँ, तल 2 x - 4y + z = 7 का समीकरण,

सीधी रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$का समीकरण

बिंदु (4 , 2 , k ) दिए गए तल पर स्थित है क्योंकि यह भी इसी तल पर स्थित होगा।

⇒ 2×4 - 4×2 + k  = 7

⇒ k = 7

तो, सही उत्तर विकल्प 2 होगा।

संकल्पना:

यदि 2 रेखाएं $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_1}{\mathrm{c}}$ और $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_2}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_2}{\mathrm{r}}$  एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ a& b& c\\ p& q& r\end{array}\right|=0$ है। 

गणना:

समतलीय रेखाओं के दिए गए समीकरण 

$\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$ और $\frac{\mathrm{x}+2}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{\lambda }=\frac{\mathrm{z}-2}{2}$ हैं। 

x1 = 1, y1 = - 1, z1 = 0 और x2 = - 2, y2 = 1, z2 = 2

∵ रेखाएं एक-दूसरे के समतलीय हैं इसलिए,

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-2-1& 1-(-1)& 2-0\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-2-1& 1+1& 2-0\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-3& 2& 2\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

-3(6 + λ) - 2(4 + 1) + 2(2λ - 3) = 0

λ  - 34 = 0

λ = 34

संकल्पना:

माना दो चर a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 में रैखिक समीकरण का युग्म

समानांतर रेखाओं और असंगत समीकरणों की शर्तों के अनुसार:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

गणना:

रेखाओं का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है

3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0

a1 = 3; a2 = 2

b1 = 2k; b2 = 5

c1 = -2; c2 = 1

यहाँ, दी गई रेखाएँ समांतर हैं

चूँकि,

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

$\therefore \frac{3}{2}=\frac{2k}{5}\left(\because c_1\ne c_2\right)$

∴ $k=\frac{15}{4}$

Additional Information

(I) यदि $\frac{a_1}{a_1}\ne \frac{b_1}{b_2}$

तब आलेख एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेदन रेखाओं का एक युग्म होगा। जो समीकरण युग्म का हल है।

(II) यदि  

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ तो

तब आलेख अनुरूप रेखाओं का एक युग्म होगा

संकल्पना:

समतलीय: रेखाओं को समतलीय तब कहा जाता है यदि वे समान तल में होते हैं। 

यदि दो रेखाएं $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_1}{\mathrm{c}}$ और $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_2}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_2}{\mathrm{r}}$ एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो 

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1-x_2& y_1-y_2& z_1-z_2\\ a& b& c\\ p& q& r\end{array}\right|=0$ है। 

∴ विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

माना, ax2 + 2hxy + by2 = 0 द्वारा निरूपित दो रेखाएं इस प्रकार हैं

y = m1x

y = m2x

जहाँ, 

$m_1+m_2=\frac{-2h}{b}$      ----(i)

और $m_1{m}_2=\frac{a}{b}$      ----(ii)

माना, θ दो रेखाओं के बीच का कोण है

$\tan \theta =\frac{\pm (m_1-m_2)}{1+m_1{m}_2}$

∴ समीकरण (i) और (ii) का उपयोग करने पर

$\tan \theta =\frac{\pm 2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$  ----(iii)

गणना:

दिया गया समीकरण है:

y2 - xy - 6x2 = 0 

इसकी मानक समीकरण से तुलना करने पर:

ax2 + 2hxy + by2 = 0

b = 1, a = - 6, h = -1/2

समीकरण (1) से;

$\tan \theta =\frac{\pm 2\sqrt{(\frac{-1}{2}{)}^2-(-6)(1)}}{-6+1}$

$\tan \theta =\frac{\pm 2\sqrt{(\frac{1}{4})+6}}{-5}$

$\tan \theta =\frac{\pm 2\times \frac{5}{2}}{-5}=\pm 1$

∴ θ = 45°

संकल्पना:

बिंदु (4, 2, k) से गुजरने वाली दिशा अनुपात (1, 1, 2) वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है

$\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$

3-D में तल का समीकरण: 2 x - 4y + z = 7,

चूंकि दी गई रेखा दिए गए तल पर स्थित है, इसलिए जिस बिंदु से होकर रेखा गुजर रही है , वह भी दिए गए तल पर स्थित होगी।

गणना:

यहाँ, तल 2 x - 4y + z = 7 का समीकरण,

सीधी रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$का समीकरण

बिंदु (4 , 2 , k ) दिए गए तल पर स्थित है क्योंकि यह भी इसी तल पर स्थित होगा।

⇒ 2×4 - 4×2 + k  = 7

⇒ k = 7

तो, सही उत्तर विकल्प 2 होगा।

संकल्पना:

यदि 2 रेखाएं $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_1}{\mathrm{c}}$ और $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_2}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_2}{\mathrm{r}}$  एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ a& b& c\\ p& q& r\end{array}\right|=0$ है। 

गणना:

समतलीय रेखाओं के दिए गए समीकरण 

$\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}}{-1}$ और $\frac{\mathrm{x}+2}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{\lambda }=\frac{\mathrm{z}-2}{2}$ हैं। 

x1 = 1, y1 = - 1, z1 = 0 और x2 = - 2, y2 = 1, z2 = 2

∵ रेखाएं एक-दूसरे के समतलीय हैं इसलिए,

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-2-1& 1-(-1)& 2-0\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-2-1& 1+1& 2-0\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

$\left|\begin{array}{ccc}-3& 2& 2\\ 2& 3& -1\\ 1& \lambda & 2\end{array}\right|=0$

-3(6 + λ) - 2(4 + 1) + 2(2λ - 3) = 0

λ  - 34 = 0

λ = 34

संकल्पना:

माना दो चर a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 में रैखिक समीकरण का युग्म

समानांतर रेखाओं और असंगत समीकरणों की शर्तों के अनुसार:

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

गणना:

रेखाओं का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है

3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0

a1 = 3; a2 = 2

b1 = 2k; b2 = 5

c1 = -2; c2 = 1

यहाँ, दी गई रेखाएँ समांतर हैं

चूँकि,

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$

$\therefore \frac{3}{2}=\frac{2k}{5}\left(\because c_1\ne c_2\right)$

∴ $k=\frac{15}{4}$

Additional Information

(I) यदि $\frac{a_1}{a_1}\ne \frac{b_1}{b_2}$

तब आलेख एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेदन रेखाओं का एक युग्म होगा। जो समीकरण युग्म का हल है।

(II) यदि  

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ तो

तब आलेख अनुरूप रेखाओं का एक युग्म होगा

संकल्पना:

समतलीय: रेखाओं को समतलीय तब कहा जाता है यदि वे समान तल में होते हैं। 

यदि दो रेखाएं $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_1}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_1}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_1}{\mathrm{c}}$ और $\frac{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}_2}{\mathrm{p}}=\frac{\mathrm{y}-{\mathrm{y}}_2}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{z}-{\mathrm{z}}_2}{\mathrm{r}}$ एक-दूसरे के समतलीय हैं, तो 

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1-x_2& y_1-y_2& z_1-z_2\\ a& b& c\\ p& q& r\end{array}\right|=0$ है। 

∴ विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

माना, ax2 + 2hxy + by2 = 0 द्वारा निरूपित दो रेखाएं इस प्रकार हैं

y = m1x

y = m2x

जहाँ, 

$m_1+m_2=\frac{-2h}{b}$      ----(i)

और $m_1{m}_2=\frac{a}{b}$      ----(ii)

माना, θ दो रेखाओं के बीच का कोण है

$\tan \theta =\frac{\pm (m_1-m_2)}{1+m_1{m}_2}$

∴ समीकरण (i) और (ii) का उपयोग करने पर

$\tan \theta =\frac{\pm 2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$  ----(iii)

गणना:

दिया गया समीकरण है:

y2 - xy - 6x2 = 0 

इसकी मानक समीकरण से तुलना करने पर:

ax2 + 2hxy + by2 = 0

b = 1, a = - 6, h = -1/2

समीकरण (1) से;

$\tan \theta =\frac{\pm 2\sqrt{(\frac{-1}{2}{)}^2-(-6)(1)}}{-6+1}$

$\tan \theta =\frac{\pm 2\sqrt{(\frac{1}{4})+6}}{-5}$

$\tan \theta =\frac{\pm 2\times \frac{5}{2}}{-5}=\pm 1$

∴ θ = 45°

अवधारणा:

समतलीय सदिश और अदिश त्रिक गुणनफल:

• तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। तीन सदिश A, B और C का अदिश त्रिक गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:
  A · (B x C) = 0
• इस स्थिति में, हमारे पास सदिश हैं:
  A = 6i + 4j + k,
  B = i + 4j + 2k,
  C = 7i + Xj + 3k
• X का मान ज्ञात करने के लिए, हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं, क्योंकि सदिश समतलीय हैं।
• सबसे पहले, B और C का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • B x C = |i j k|
    |1 4 2|
    |7 X 3|
  • सारणिक का प्रसार करें:
    B x C = (12 - 2X)i - (3 - 14)j + (X - 28)k = (12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k।
• अब, A का B x C के साथ अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
  • A · (B x C) = (6i + 4j + k) · [(12 - 2X)i + 11j + (X - 28)k]
  • A · (B x C) = 6(12 - 2X) + 4(11) + 1(X - 28)
  • सरलीकरण करने के बाद:
    A · (B x C) = 72 - 12X + 44 + X - 28 = 88 - 11X।
• सदिशों के समतलीय होने के लिए, A · (B x C) = 0:
  • 88 - 11X = 0
  • X = 88 / 11 = 8

गणना:

दिए गए सदिश A = 6i + 4j + k, B = i + 4j + 2k, और C = 7i + Xj + 3k

सबसे पहले, B × C की गणना करें, फिर A · (B × C) की गणना करें। A · (B x C) = 0 सेट करें और X के लिए हल करें:

A · (B × C) = 88 - 11X = 0 → X = 8।

∴ X का मान 8 है।

∴ अतः सही उत्तर: विकल्प 2 (X = 8) है।