Contour Integral & Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Contour Integral & Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

विवाद प्रमेय: माना f एक मेरोमोर्फिक फलन है और C एक सरल बंद कंटूर है जिसके अंदर f का कोई शून्यक या ध्रुव नहीं है। माना a₁, a₂,…,a_k, क्रमशः n₁, n₂,…,n_k क्रम के f के शून्यक हैं और f(z) का C में कोई ध्रुव नहीं है। तब
=

व्याख्या:

g(z) = z3 और f(z) = z3 - z - 1.

माना a, b, c, f(z) के शून्यक हैं जो C में स्थित हैं, तब

a + b + c = 0

a² + b² + c² = -1 और

abc = 1

अब,

= a³ + b³ + c³

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc

= 0(-1) + 3 = 3

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

जहाँ C शीर्षों 0, , और वाला त्रिकोणीय कंटूर है।

फलन का z = 1 पर एक विचित्रता है, जो एक एकघात अनंतक है।

अवशेष प्रमेय को लागू करने के लिए, हम जाँच करते हैं कि क्या z = 1 त्रिकोणीय कंटूर के अंदर स्थित है।

दिए गए कंटूर के शीर्ष हैं: (जो वास्तविक अक्ष पर 0.25 है) और (जो काल्पनिक अक्ष पर 0.5 है)।

चूँकि z = 1 इस त्रिकोणीय क्षेत्र के बाहर है, इसलिए कंटूर विचित्रता को परिबद्ध नहीं करती है।

कौशी के अवशेष प्रमेय को लागू करें:

चूँकि विचित्रता z = 1 कंटूर के बाहर है, इसलिए समाकल का मान शून्य होगा:

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

सामान्यीकृत कौशी समाकल सूत्र:

एक सरल संवृत कंटूर C के अंदर और पर एक विश्लेषिक फलन f(z) के लिए, और C के अंदर किसी भी बिंदु a के लिए:

व्याख्या:

इस सूत्र को लागू करें:

यहाँ, हमें समाकल दिया गया है:

सूत्र से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि n = 2 है, इसलिए हम उपयोग करते हैं:

चूँकि 1! = 1 है, हमें मिलता है:

f'(z) के पदों में समाकल को पुन: लिखने पर:

अब हम f'(a) के लिए कौशी का समाकल सूत्र उपयोग करते हैं:

से दोनों पक्षों को गुणा करने पर, हमें मिलता है:

अब, इसे हमारे दिए गए समाकल परिणाम से तुलना करने पर:

,

हम देखते हैं कि यह बिलकुल सुमेलित है:

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

व्याख्या:

जहाँ C वृत्त |z| = 2 है

इस फलन के दो विचित्रताएँ (अनंतक) z = 1 और z = 4 पर हैं

z = 1, वक्र |z| = 2 के अंदर है। 

z = 4, वक्र |z| = 2 के बाहर है। 

चूँकि कंटूर समाकलन केवल कंटूर के अंदर विचित्रताओं पर निर्भर करता है, इसलिए हम केवल z = 1 पर अवशेष पर विचार करते हैं

z = 1 पर का अवशेष ज्ञात करने के लिए, हम इसे इस रूप में व्यक्त करते हैं:

अवशेष =

(z - 1) से गुणा करने पर, हमें मिलता है:

z = 1 को प्रतिस्थापित करने पर:

अवशेष प्रमेय द्वारा,

इस प्रकार, सही उत्तर है। 

इसलिए विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

कौशी का समाकलन प्रमेय:

मान लीजिए f(z) एक ऐसा फलां है, जो सरल रूप से संबद्ध प्रांत D में विश्लेषणात्मक है। यदि C एक सरल बंद समोच्च है, जो पूर्णतः D के भीतर स्थित है, तो  है।}

कौशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए कि f(z) पृथक विलक्षणताओं को छोड़कर प्रांत D में विश्लेषणात्मक है।

यदि C इन एकलताओं को घेरने वाला एक सरल संवृत्त समोच्च है, तो

जहाँ Res(f, z _k ) z _k पर f(z) के अवशेष को दर्शाता है। 

गणना:

⇒ z = 2 पर एक सरल ध्रुव है। 

⇒

⇒ व्यंजक में z = 2 प्रतिस्थापित करने पर,

⇒

⇒

A असत्य है।

कौशी समाकलन प्रमेय के अनुसार, R सत्य है।

अतः विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

व्याख्या:

C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।

के विलक्षणताएँ निम्न द्वारा दी गई हैं

z² = 0 ⇒ z = 0 और

e^z - e^-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0

अब,

=

= (ez - e-z का विस्तार)

=

= ((1 + x)^-1 का विस्तार)

इसलिए का अवशेष = 1/z का गुणांक =

अतः = 2πi(अवशेषों का योग) = = −iπ/6

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

व्याख्या:

C मूल के केंद्र पर 3 त्रिज्या का सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त हो।

के विलक्षणताएँ निम्न द्वारा दी गई हैं

z² = 0 ⇒ z = 0 और

e^z - e^-z = 0 ⇒ ez = e-z ⇒ z = 0

अब,

=

= (ez - e-z का विस्तार)

=

= ((1 + x)^-1 का विस्तार)

इसलिए का अवशेष = 1/z का गुणांक =

अतः = 2πi(अवशेषों का योग) = = −iπ/6

विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

यदि f(z) एक सरल बंद वक्र C के भीतर और उस पर एक वैश्लेषिक फलन है और यदि a, C के भीतर कोई बिंदु है, तो

f(a) = dz

यहाँ, समाकल को C के समीप धनात्मक अर्थ में लिया जाना चाहिए।

हल - दिया गया है, फलन

f(z) = 

और फलन की z = i, z = - i पर अव्युत्क्रमणीयता है

C : {z : |z - i|

इसलिए z = - i वक्र पर नहीं है और z = i वक्र के अंदर स्थित है

अतः

I = 2πi ×  = 2πi  = 2πi  = π (log i)³

अब, log (i) = log 1 + i tan^-1(1/0) = 0 + i = i

अतः I = π = 

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 4 है)।

स्पष्टीकरण:

विलक्षणताएँ 0 हैं, i वक्र |z| = 6 में स्थित है 

माना f(z) = e^2iz, g(z) = z⁴

इसलिए कॉची समाकलन सूत्र का प्रयोग करने पर

= 2πi( - ) 

= 2πi( - )

= 2πi(- +6)

= 

(3) सही है

संप्रत्यय:

विवाद प्रमेय: माना f एक मेरोमोर्फिक फलन है और C एक सरल बंद कंटूर है जिसके अंदर f का कोई शून्यक या ध्रुव नहीं है। माना a₁, a₂,…,a_k, क्रमशः n₁, n₂,…,n_k क्रम के f के शून्यक हैं और f(z) का C में कोई ध्रुव नहीं है। तब
=

व्याख्या:

g(z) = z3 और f(z) = z3 - z - 1.

माना a, b, c, f(z) के शून्यक हैं जो C में स्थित हैं, तब

a + b + c = 0

a² + b² + c² = -1 और

abc = 1

अब,

= a³ + b³ + c³

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc

= 0(-1) + 3 = 3

विकल्प (1) सही है।