Cone & Sphere MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cone & Sphere - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

गोले का केंद्र C \((\frac{-3}{4}, \frac{-3}{4}, \frac{-3}{4})\) है

4x + 8y + 8z + 15 = 0,

समतल गोले के केंद्र को संतुष्ट करता है - 3 -6 - 6 + 15 = 0

⇒ 0 = 0

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

गोला: 2x² + 2y² + 2z² + 3x + 3y + 3z - 6 = 0

⇒ \(x^2 + y^2+z^2 + \frac{3}{2}x +\frac{3}{2}y + \frac{3}{2}z\) -3 = 0

अब त्रिज्या = \(\sqrt{(\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^2 + 3}\)

= \(\sqrt{\frac{27}{16} +3} = \frac{5\sqrt3}{4}\)

व्यास = \(\frac{5\sqrt3}{2}\)

∴ विकल्प (b) सही है

व्याख्या:

हम जानते हैं कि शंकु ax2 + by2 + cz2 = 0 का व्युत्क्रम शंकु \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=0\) है।

दिए गए शंकु x2 + 2y2 + 3z2 = 0 में 

a = 1, b = 2, c = 3.

इसलिए, व्युत्क्रम शंकु निम्नवत है

\(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=0\)

अर्थात, 6x2 + 3y2 + 2z2 = 0

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

λ1S1 + λ2S2 = 0

⇒ λ1(x² + y² + z² + ...) + λ2(x2 + y2 + z2 + ...) = 0

यदि λ1 = -λ2 है तो उपरोक्त समीकरण एक गोले को निरूपित नहीं करता है।

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

शंकु एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति होती है जो एक समतल आधार (आमतौर पर गोलाकार) से शीर्ष बिंदु तक जाने पर शंक्वाकार होता है। इसकी एक समतल सतह और एक वक्राकर सतह होती है।

व्याख्या:

विकल्प 1: एक समतल आकृति एक वृत्त, त्रिभुज या वर्ग जैसी सपाट, द्वि-आयामी आकृति होती है। चूँकि शंकु त्रि-आयामी होता है, इसलिए इसे समतल आकृति के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

विकल्प 2: वक्र एक सुचारू रूप से बहने वाली, तीव्र कोणों के बिना निरंतर रेखा होती है। यद्यपि शंकु की सतह वक्राकर होती है, फिर भी यह पूरी तरह से वक्र नहीं होता है।

विकल्प 3: ठोस आकृति: एक ठोस आकृति एक त्रि-आयामी वस्तु होती है। एक शंकु इस परिभाषा में उपयुक्त है क्योंकि इसमें आयतन होता है और यह स्थान घेरता है।

विकल्प 4: एक रेखा एक सीधी एक-आयामी आकृति होती है जिसमें कोई मोटाई नहीं होती है और दोनों दिशाओं में असीमित रूप से फैली हुई होती है। शंकु एक रेखा नहीं है क्योंकि यह त्रि-आयामी है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया:

अर्धगोले की त्रिज्या = 7 सेमी

शंकु का व्यास = 14 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

अर्धगोले का आयतन = 2/3 × πR3

शंकु का आयतन = 1/3 × πr2h

गणना:

⇒ 2/3 × πR3 = 1/3 × πr2h

⇒ 2/3 × π73 = 1/3 × π72h

⇒ 2 × 73 = 1 × 72h

⇒ h = 14

उत्तर 14 सेमी है।

व्याख्या:

दिया गया है:

गोला: 2x² + 2y² + 2z² + 3x + 3y + 3z - 6 = 0

⇒ \(x^2 + y^2+z^2 + \frac{3}{2}x +\frac{3}{2}y + \frac{3}{2}z\) -3 = 0

अब त्रिज्या = \(\sqrt{(\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^2 + 3}\)

= \(\sqrt{\frac{27}{16} +3} = \frac{5\sqrt3}{4}\)

व्यास = \(\frac{5\sqrt3}{2}\)

∴ विकल्प (b) सही है

व्याख्या:

गोले का केंद्र C \((\frac{-3}{4}, \frac{-3}{4}, \frac{-3}{4})\) है

4x + 8y + 8z + 15 = 0,

समतल गोले के केंद्र को संतुष्ट करता है - 3 -6 - 6 + 15 = 0

⇒ 0 = 0

∴ विकल्प (d) सही है

दिया गया:

अर्धगोले की त्रिज्या = 7 सेमी

शंकु का व्यास = 14 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

अर्धगोले का आयतन = 2/3 × πR3

शंकु का आयतन = 1/3 × πr2h

गणना:

⇒ 2/3 × πR3 = 1/3 × πr2h

⇒ 2/3 × π73 = 1/3 × π72h

⇒ 2 × 73 = 1 × 72h

⇒ h = 14

उत्तर 14 सेमी है।

अवधारणा:

गोले का व्यापक समीकरण x² + y² + z² + 2ux + 2vy + 2wz + c = 0

स्पष्टीकरण:

अब, गोले का समीकरण  x2 + y2 + z2 + 2ux + 2vy + 2wz + c = 0 ....... (i)

(0,0,0), (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) से होकर गुजरता है।

अब, जब समीकरण (i), (0,0,0) से होकर गुजरता है, तब  ⇒ c = 0 

अब, जब समीकरण (i), (a,0,0) से होकर गुजरता है, तब ⇒ u = \(\frac{-a}{2}\) 

इसी प्रकार, (0,b,0) के लिए, हमें प्राप्त होता है, v = \(\frac{-b}{2}\)  और (0,0,c) के लिए, हमें प्राप्त होता है, w = \(\frac{-c}{2}\) 

सभी मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

 x2 + y2 + z2 - ax - by - cz = 0

अब, वर्ग पूरा करने पर, हमें प्राप्त होता है

\((x - \frac{a}{2})^2\) + \((y - \frac{b}{2})^2\) + \((z - \frac{c}{2})^2\) =  \(\frac{1}{4}\) (a2 + b2 + c2)

अतः, विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

शंकु एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति होती है जो एक समतल आधार (आमतौर पर गोलाकार) से शीर्ष बिंदु तक जाने पर शंक्वाकार होता है। इसकी एक समतल सतह और एक वक्राकर सतह होती है।

व्याख्या:

विकल्प 1: एक समतल आकृति एक वृत्त, त्रिभुज या वर्ग जैसी सपाट, द्वि-आयामी आकृति होती है। चूँकि शंकु त्रि-आयामी होता है, इसलिए इसे समतल आकृति के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

विकल्प 2: वक्र एक सुचारू रूप से बहने वाली, तीव्र कोणों के बिना निरंतर रेखा होती है। यद्यपि शंकु की सतह वक्राकर होती है, फिर भी यह पूरी तरह से वक्र नहीं होता है।

विकल्प 3: ठोस आकृति: एक ठोस आकृति एक त्रि-आयामी वस्तु होती है। एक शंकु इस परिभाषा में उपयुक्त है क्योंकि इसमें आयतन होता है और यह स्थान घेरता है।

विकल्प 4: एक रेखा एक सीधी एक-आयामी आकृति होती है जिसमें कोई मोटाई नहीं होती है और दोनों दिशाओं में असीमित रूप से फैली हुई होती है। शंकु एक रेखा नहीं है क्योंकि यह त्रि-आयामी है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

गोला: 2x² + 2y² + 2z² + 3x + 3y + 3z - 6 = 0

⇒ \(x^2 + y^2+z^2 + \frac{3}{2}x +\frac{3}{2}y + \frac{3}{2}z\) -3 = 0

अब त्रिज्या = \(\sqrt{(\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^2+ (\frac{3}{4})^2 + 3}\)

= \(\sqrt{\frac{27}{16} +3} = \frac{5\sqrt3}{4}\)

व्यास = \(\frac{5\sqrt3}{2}\)

∴ विकल्प (b) सही है

व्याख्या:

गोले का केंद्र C \((\frac{-3}{4}, \frac{-3}{4}, \frac{-3}{4})\) है

4x + 8y + 8z + 15 = 0,

समतल गोले के केंद्र को संतुष्ट करता है - 3 -6 - 6 + 15 = 0

⇒ 0 = 0

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

हम जानते हैं कि शंकु ax2 + by2 + cz2 = 0 का व्युत्क्रम शंकु \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=0\) है।

दिए गए शंकु x2 + 2y2 + 3z2 = 0 में 

a = 1, b = 2, c = 3.

इसलिए, व्युत्क्रम शंकु निम्नवत है

\(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=0\)

अर्थात, 6x2 + 3y2 + 2z2 = 0

विकल्प (1) सही है।

व्याख्या:

λ1S1 + λ2S2 = 0

⇒ λ1(x² + y² + z² + ...) + λ2(x2 + y2 + z2 + ...) = 0

यदि λ1 = -λ2 है तो उपरोक्त समीकरण एक गोले को निरूपित नहीं करता है।

इसलिए, विकल्प (3) सही है।