Breakaway Points MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Breakaway Points - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

मूल बिन्दुपथ एक ग्राफिकल विधि है जो DC लाभ (K) जैसे कुछ प्रणाली पैरामीटर के संबंध में प्रणाली के मूलों की भिन्नता को दर्शाता है।

व्याख्या:

1. विराम बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक ध्रुवों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक शून्य की ओर विचलन करते हैं।
2. अंतराल बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक शून्यों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक ध्रुवों की ओर विचलन करते हैं।
3. केन्द्रक: यह वास्तविक अक्ष पर वह बिंदु है जहां सभी स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन एक मूल बिन्दुपथ में होता है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण: अनन्तस्पर्शी केंद्रक से उत्पन्न होता है और किसी कोण पर अनंत तक जाता है। कोण को अनन्तस्पर्शी कोण के रूप में जाना जाता है।

संकल्पना:

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

गणना:

\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

ध्रुव शून्य प्लॉट और वास्तविक अक्ष के वर्गों को आकृति में दिखाया गया है।

0 और -1 और -2 और -3 के बीच के खंड मूल-पथ के हिस्से हैं।

अभिलक्षण समीकरण:

\(1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = 0\)

⇒ s4 + 6s3 + 11s2 + 6s + K = 0

⇒ K = -s4 - 6s3 – 11s2 – 6s

\(\frac{{dk}}{{ds}} = - 4{s^3} - 18{s^2} - 22s - 6 = 0\)

⇒ (s + 1.5) (4s2 + 12s + 4) = 0

⇒ s = -1.5, -0.381, -0.2,619

लेकिन जैसा कि s = -1 और s = -2 के बीच कोई मूल-पथ नहीं है, s = -1.5 मान्य भंग बिंदु नहीं हो सकता है।

यदि s = -0.381 है, तो K = 1

यदि s = -2.619 है, तो K = 1

दोनों मान्य भंग बिंदु हैं, K = 1 पर एक साथ होते हैं।

संकल्पना:

जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं, तो विच्छेद बिंदु मौजूद होते हैं।

अवरोध बिंदु पर लब्धि K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) के मूल अवरोध बिंदु हैं।

गणना:

अभिलक्षणिक समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

1+ OLTF = 0, अर्थात

\(\;1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = 0\)

\(\Rightarrow \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = - 1\)

⇒ K = -s(s2 + 3s + 2)

⇒ K = -s3 - 3s2 - 2s

\(\Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = - 3{s^2} - 6s - 2 = 0\)

⇒ 3s2 + 6s + 2 = 0

\(s = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 24} }}{6} \)

\(s= \frac{{ - 6 \pm \sqrt {12} }}{6} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{6}\)

\(s= - 0.422\)

• मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा एक ध्रुव से शुरू होती है (K = 0) और एक शून्य पर समाप्त होती है (K = ∞) विवृत-लूप अंतरण फलन का।
• मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित है।
• शाखाओं की संख्या मूल बिंदुपथ आरेख में:

N = P यदि P ≥ Z

= Z, यदि P ≤ Z

• अनंतस्पर्शी की संख्या एक मूल बिंदुपथ आरेख में = |P - Z|
• केन्द्रक: यह अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु है और हमेशा वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है

ΣZi G(s)H(s) के परिमित शून्यों के वास्तविक भागों का योग है

• अनंतस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P - Z| - 1

• किसी भी खंड के दाईं ओर वास्तविक अक्ष पर, यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम है, तो उस खंड में मूल बिंदुपथ आरेख मौजूद है।

संकल्पना:

मूल बिन्दुपथ एक ग्राफिकल विधि है जो DC लाभ (K) जैसे कुछ प्रणाली पैरामीटर के संबंध में प्रणाली के मूलों की भिन्नता को दर्शाता है।

व्याख्या:

1. विराम बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक ध्रुवों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक शून्य की ओर विचलन करते हैं।
2. अंतराल बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक शून्यों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक ध्रुवों की ओर विचलन करते हैं।
3. केन्द्रक: यह वास्तविक अक्ष पर वह बिंदु है जहां सभी स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन एक मूल बिन्दुपथ में होता है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण: अनन्तस्पर्शी केंद्रक से उत्पन्न होता है और किसी कोण पर अनंत तक जाता है। कोण को अनन्तस्पर्शी कोण के रूप में जाना जाता है।

संकल्पना:

जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं, तो विच्छेद बिंदु मौजूद होते हैं।

अवरोध बिंदु पर लब्धि K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) के मूल अवरोध बिंदु हैं।

गणना:

अभिलक्षणिक समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

1+ OLTF = 0, अर्थात

\(\;1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = 0\)

\(\Rightarrow \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = - 1\)

⇒ K = -s(s2 + 3s + 2)

⇒ K = -s3 - 3s2 - 2s

\(\Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = - 3{s^2} - 6s - 2 = 0\)

⇒ 3s2 + 6s + 2 = 0

\(s = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 24} }}{6} \)

\(s= \frac{{ - 6 \pm \sqrt {12} }}{6} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{6}\)

\(s= - 0.422\)

• मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा एक ध्रुव से शुरू होती है (K = 0) और एक शून्य पर समाप्त होती है (K = ∞) विवृत-लूप अंतरण फलन का।
• मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित है।
• शाखाओं की संख्या मूल बिंदुपथ आरेख में:

N = P यदि P ≥ Z

= Z, यदि P ≤ Z

• अनंतस्पर्शी की संख्या एक मूल बिंदुपथ आरेख में = |P - Z|
• केन्द्रक: यह अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु है और हमेशा वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है

ΣZi G(s)H(s) के परिमित शून्यों के वास्तविक भागों का योग है

• अनंतस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P - Z| - 1

• किसी भी खंड के दाईं ओर वास्तविक अक्ष पर, यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम है, तो उस खंड में मूल बिंदुपथ आरेख मौजूद है।

\(G\left( s \right) = \frac{{k\left( {s + b} \right)}}{{{s^2}\left( {s + 20} \right)}}\)

अभिलक्षण समीकरण: 1 + G(s) H(s) = 0

\( \Rightarrow 1 + \frac{{k\left( {s + b} \right)}}{{{s^2}\left( {s + 20} \right)}} = 0\)

\( \Rightarrow k = \frac{{ - \left( {{s^3} + 20{s^2}} \right)}}{{\left( {s + b} \right)}}\)

\(\frac{{dk}}{{ds}} = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{\left( {s + b} \right)\left( {3{s^2} + 40s} \right) - \left( {{s^3} + 20{s^2}} \right)\left( 1 \right)}}{{{{\left( {s + b} \right)}^2}}} = 0\)

⇒ 3s³ + 3bs²+ 40s² + 40bs – s³ – 20s² = 0

⇒ 2s³ + (3b + 20) s² + 40 bs = 0

⇒ s (2s² + (3b + 20) s + 40b) = 0

⇒ s = 0 और 2s² + (3b + 20) s + 40b = 0

एकल बिंदु होने पर,

(3b + 20)² – 4(2) (40b) = 0

⇒ 9b² + 400 + 120b – 320b = 0

⇒ 9b² – 200b + 400 = 0

\( \Rightarrow b = 20,\frac{{20}}{9}\)

b = 20 के लिए, ध्रुव और शून्य निष्क्रय हो जाते है।

संकल्पना:

1. खुले-लूप वाले स्थानांतरण फलन के मूल-पथ आरेख की प्रत्येक शाखा ध्रुव (K = 0) पर शुरू और शून्य (K = ∞) पर ख़त्म होती है।

2. मूल पथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित होता है।

3. मूल पथ आरेख के शाखाओं की संख्या निम्न हैं:

यदि P ≥ Z है, तो N = P 

यदि P ≤ Z है, तो = Z 

4. मूल पथ आरेख में अनन्तस्पर्शी की संख्या = |P – Z|

5. केन्द्रक: यह अनन्तस्पर्शी का प्रतिच्छेदन होता है और सदैव वास्तविक अक्ष पर होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi, G(s)H(s) के सीमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है।

ΣZi, G(s)H(s) के सीमित शून्य के वास्तविक भागों का योग है।

6. अनन्तस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P – Z| – 1

7. किसी अनुभाग के दाएँ पक्ष के वास्तविक अक्ष पर यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम होता है, तो उस अनुभाग में मूल-पथ आरेख मौजूद होता है।

8. ब्रेक इन/दूर बिंदु: ये तब मौजूद होते हैं जब मूल पथ आरेख पर कई मूल होते हैं।

विच्छेद बिंदु पर लाभ K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) का मूल विच्छेद बिंदु हैं।

गणना:

\(G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

ध्रुव शून्य प्लॉट और वास्तविक अक्ष के वर्गों को आकृति में दिखाया गया है।

0 और -1 और -2 और -3 के बीच के खंड मूल-पथ के हिस्से हैं।

अभिलक्षण समीकरण:

\(1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = 0\)

⇒ s4 + 6s3 + 11s2 + 6s + K = 0

⇒ K = -s4 - 6s3 – 11s2 – 6s

\(\frac{{dk}}{{ds}} = - 4{s^3} - 18{s^2} - 22s - 6 = 0\)

⇒ (s + 1.5) (4s2 + 12s + 4) = 0

⇒ s = -1.5, -0.381, -0.2,619

लेकिन जैसा कि s = -1 और s = -2 के बीच कोई मूल-पथ नहीं है, s = -1.5 मान्य भंग बिंदु नहीं हो सकता है।

यदि s = -0.381 है, तो K = 1

यदि s = -2.619 है, तो K = 1

दोनों मान्य भंग बिंदु हैं, K = 1 पर एक साथ होते हैं।

संकल्पना:

मूल बिन्दुपथ एक ग्राफिकल विधि है जो DC लाभ (K) जैसे कुछ प्रणाली पैरामीटर के संबंध में प्रणाली के मूलों की भिन्नता को दर्शाता है।

व्याख्या:

1. विराम बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक ध्रुवों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक शून्य की ओर विचलन करते हैं।
2. अंतराल बिंदु: यह वास्तविक अक्ष पर दो वास्तविक शून्यों के बीच का बिंदु है जहां वे मिलते हैं और मूल स्थान में वास्तविक ध्रुवों की ओर विचलन करते हैं।
3. केन्द्रक: यह वास्तविक अक्ष पर वह बिंदु है जहां सभी स्पर्शोन्मुख का प्रतिच्छेदन एक मूल बिन्दुपथ में होता है।
4. अनन्तस्पर्शी का कोण: अनन्तस्पर्शी केंद्रक से उत्पन्न होता है और किसी कोण पर अनंत तक जाता है। कोण को अनन्तस्पर्शी कोण के रूप में जाना जाता है।

संकल्पना:

जब मूल बिंदुपथ आरेख पर कई मूल होते हैं, तो विच्छेद बिंदु मौजूद होते हैं।

अवरोध बिंदु पर लब्धि K या तो अधिकतम और/या न्यूनतम होता है।

इसलिए, \(\frac{{dK}}{{ds}}\) के मूल अवरोध बिंदु हैं।

गणना:

अभिलक्षणिक समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:

1+ OLTF = 0, अर्थात

\(\;1 + \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = 0\)

\(\Rightarrow \frac{K}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} = - 1\)

⇒ K = -s(s2 + 3s + 2)

⇒ K = -s3 - 3s2 - 2s

\(\Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = - 3{s^2} - 6s - 2 = 0\)

⇒ 3s2 + 6s + 2 = 0

\(s = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {36 - 24} }}{6} \)

\(s= \frac{{ - 6 \pm \sqrt {12} }}{6} = \frac{{ - 6 + \sqrt {12} }}{6}\)

\(s= - 0.422\)

• मूल बिंदुपथ आरेख की प्रत्येक शाखा एक ध्रुव से शुरू होती है (K = 0) और एक शून्य पर समाप्त होती है (K = ∞) विवृत-लूप अंतरण फलन का।
• मूल बिंदुपथ आरेख वास्तविक अक्ष के संबंध में सममित है।
• शाखाओं की संख्या मूल बिंदुपथ आरेख में:

N = P यदि P ≥ Z

= Z, यदि P ≤ Z

• अनंतस्पर्शी की संख्या एक मूल बिंदुपथ आरेख में = |P - Z|
• केन्द्रक: यह अनंतस्पर्शी का प्रतिच्छेदन बिंदु है और हमेशा वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है। इसे σ द्वारा दर्शाया जाता है।

\(\sigma = \frac{{\sum {P_i} - \sum {Z_i}}}{{\left| {P - Z} \right|}}\)

ΣPi G(s)H(s) के परिमित ध्रुवों के वास्तविक भागों का योग है

ΣZi G(s)H(s) के परिमित शून्यों के वास्तविक भागों का योग है

• अनंतस्पर्शी का कोण: \({\theta _l} = \frac{{\left( {2l + 1} \right)\pi }}{{P - Z}}\)

l = 0, 1, 2, … |P - Z| - 1

• किसी भी खंड के दाईं ओर वास्तविक अक्ष पर, यदि ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या का योग विषम है, तो उस खंड में मूल बिंदुपथ आरेख मौजूद है।

संकल्पना:

• संबंध-विच्छेद और अवरोध बिंदु प्राप्त करने की सामान्य विधि अवकलन का प्रयोग करके अर्थात् \(\frac{{dK}}{{ds}}\) को शून्य के बराबर करके लाभ K को बढ़ाना और कम करना है और s के लिए हल करने पर हमें संभव संबंध-विच्छेद और अवरोध बिंदु प्राप्त होता है।
• लाभ K संबंध-विच्छेद बिंदु पर अधिकतम और अवरोध बिंदु पर न्यूनतम होगा।
• लाभ K के लिए उस बिंदु को अवरोध बिंदु के रूप में जाना जाता है जिस पर कई मूल मौजूद होते हैं। ये:\( \Rightarrow \frac{{dK}}{{ds}} = 0\) से प्राप्त होते हैं।

गणना:

प्रणाली का खुला-लूप वाला ध्रुव-शून्य आलेख दिया गया है। दिए गए आलेख से हमारे पास निम्न रूप में शून्य और ध्रुव हैं:

शून्य: s = 1 + j और s = 1 – j 

ध्रुव: s = -2 और s = -3 

इसलिए, प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न रूप में प्राप्त होता है;

\(H\left( s \right)G\left( s \right) = \frac{{K\left\{ {\left( {s\left( {1 + j} \right)} \right)\left( {s - \left( {1 - j} \right)} \right)} \right\}}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{K\left( {s - 1 - j} \right)\left( {s - 1 + j} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{K\left[ {{{\left( {s - 1} \right)}^2} - {{\left( j \right)}^2}} \right]}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

\( \Rightarrow G\left( s \right)H\left( s \right) = \frac{{K\left( {{{\left( {s + 1} \right)}^2} + 1} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = \frac{{K\left( {{s^2} - 2 + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

विशेषता समीकरण 1 + G(s).H(s) = 0 है। 

अर्थात् \(1 + \frac{{K\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{K\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)}}{{\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}} = - 1\)

\( \Rightarrow K = \frac{{ - \left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}{{{s^2} - 2s + 2}} = \frac{{ - \left( {{s^2} + 5s + 6} \right)}}{{{s^2} - 2s + 2}}\)

\(\frac{{dK}}{{ds}} = 0\) के लिए हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\( \Rightarrow \frac{{ - \left[ {\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)\left( {2s + 5} \right) - \left( {{s^2} + 5s + 6} \right)\left( {2s - 2} \right)} \right]}}{{{{\left( {{s^2} + 2s + 2} \right)}^2}}} = 0\)

\( \Rightarrow \frac{{2{s^3} + 5{s^2} - 4{s^2} - 10s + 4s + 10 - 2{s^3} + 2{s^2} - 10{s^2} + 10s - 12s + 12}}{{{{\left( {{s^2} - 2s + 2} \right)}^2}}} = 0\)

⇒ s² – 8s² – 10s + 4s – 2s + 22 = 0

⇒ -7s² – 12 s + 4 s + 22 = 0

⇒ 7s² + 8 s - 22 s = 0

⇒ s = +1.29 और s = -2.43

चूँकि बिंदु s = -2.43 लाभ K के लिए उच्चिष्ट है,

अतः s = -2.43 संबंध-विच्छेद बिंदु है।