Bohr’s Model For Hydrogen Atom MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Bohr’s Model For Hydrogen Atom - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

\(\dfrac {1}{\lambda}=R_H Z^2 \left[\dfrac {1}{n_1^2}-\dfrac {1}{n_2^2}\right]\)

आयनन ऊर्जा के लिए

\(n_1=1\)

\(n_2=\infty \\ \Longrightarrow \dfrac{1}{\lambda}=R_H \\\Longrightarrow IE_1=E_\infty =E_1=\dfrac {hc}{\lambda}=R_Hhc.\)

विकल्प A सही है।

गणना:

\(\lambda =\dfrac {h}{\sqrt {2m_peV}}\) ....(1)

\(\lambda_{\alpha} =\dfrac {h}{\sqrt {2m_{\alpha}(2e)V_{\alpha}}}\) ....(2)

समीकरण (i) और (ii) से हमारे पास है

\(2m_peV_p= 2\times 4 \times m_p\times2 eV_{\alpha}\)

\(\Longrightarrow V_{\alpha}=\dfrac {V}{8}\)

विकल्प D सही है।

संकल्पना:

• त्रिज्यीय नोड:
  • त्रिज्यीय नोड वे क्षेत्र हैं जहाँ नाभिक से कुछ निश्चित दूरियों पर इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता घनत्व शून्य होता है।
  • त्रिज्यीय नोडों की संख्या (\(n - \ell - 1\)) द्वारा दी जाती है, जहाँ (n) मुख्य क्वांटम संख्या है और (\(\ell\)) द्विगंशी क्वांटम संख्या है।
• कोणीय नोड:
  • कोणीय नोड वे क्षेत्र हैं जहाँ कक्षक के ज्यामितीय आकार के कारण इलेक्ट्रॉन के मिलने की प्रायिकता घनत्व शून्य होता है।
  • कोणीय नोडों की संख्या अज़ीमुथल क्वांटम संख्या (\(\ell\)) द्वारा दी जाती है।
• क्वांटम संख्याएँ:
  • मुख्य क्वांटम संख्या (n): ऊर्जा स्तर निर्दिष्ट करती है, '4d' कक्षकों के लिए, (n = 4).
  • द्विगंशी क्वांटम संख्या (\(\ell\)): उपकोश निर्दिष्ट करती है, 'd' कक्षकों के लिए, \(\ell\) = 2).

व्याख्या:

इसलिए '4d' कक्षकों में उपस्थित कोणीय और त्रिज्यीय नोडों की संख्या ज्ञात करने के लिए:

1. कोणीय नोड:
   • '4d' कक्षकों के लिए, (\(\ell\) = 2).
   • इस प्रकार, कोणीय नोडों की संख्या \(\ell\) = 2 है।
2. त्रिज्यीय नोड:
   • '4d' कक्षकों के लिए, (n = 4) और (\(\ell\) = 2).
   • इस प्रकार, त्रिज्यीय नोडों की संख्या (4 - 2 - 1 = 1) है।

निष्कर्ष:

इसलिए, '4d' कक्षकों में उपस्थित कोणीय और त्रिज्यीय नोडों की संख्या क्रमशः 2 और 1 है।

अवधारणा:

बोर का परमाणु मॉडल,

• इलेक्ट्रॉनों विविक्त ऊर्जा के साथ वृत्ताकार कक्षकों में नाभिक के चारों ओर घूमते हैं, अर्थात्, ऊर्जा क्वांटित होती है।
• कक्षकों की त्रिज्या भी निश्चित है।
• जब इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा प्रदान की जाती है, तो वे उच्च कक्षकों में जाते हैं।
• इलेक्ट्रॉनों का कोणीय संवेग क्वांटित होता है और निम्न प्रकार दिया जाता है

 \(mvr = \frac{{nh}}{{2\pi }}\)

• एक इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए प्रकाश ν की आवृत्ति जो ऊर्जा में भिन्न होती है

\(\Delta E\;isequal\;to = \frac{{\Delta E}}{h} = \frac{{hν '' - hν '}}{h} = ν \;\;\) जहाँ hν'' और hν' क्रमशः उच्च और निम्न कक्षकों की ऊर्जा है।

• एक स्थिर कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निम्न प्रकार दी जाती है:

\(E_n = - R_H\frac{{Z^2}}{{n^2}}\)

स्पष्टीकरण:

जब इलेक्ट्रॉन वोल्ट में व्यक्त किया जाता है, तो कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निम्न प्रकार दी जाती है:

\(E_n = - 13.6\frac{{Z^2}}{{n^2}}eV\)

जब  Z=1, n= 1 , E = -13.6eV.

जब परमाणु प्रथम उत्तेजित अवस्था में होता है, तो n=2 हो जाता है और ऊर्जा इस प्रकार होती है:

\(E = - 13.6\frac{{1^2}}{{2^2}} = - \frac{{13.6}}{4} = -3.4eV\)

अतः, मूल अवस्था में एक हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा -3.4eV है।

परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को विकिरण किए बिना कुछ स्थिर और असतत कक्षाओं में नाभिक के चारों ओर घूमता है। ऊर्जा तभी विकिरणित होती है जब एक इलेक्ट्रॉन एक ऊर्जा स्तर से दूसरे में जाता है। ऊर्जा विकिरण विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम में एक निश्चित क्षेत्र से सम्बन्धित होती है।  

ऊर्जा क्षय या प्राप्त तब होती है जब एक इलेक्ट्रॉन एक आवृत्ति \(\nu \) के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण को अवशोषित या उत्सर्जित करके कक्षा में जाता है। निम्नलिखित संबंध के अनुसार स्तरों की ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है  , जहाँ h प्लैंक नियतांक है

हम जानते है-
\(E_f-E_i=h\nu\)   -------(i)

चूँकि, \(E=\dfrac{E_0}{n^2} \)  -----(ii) 

\(c=\lambda\nu\)     --------(iii) 

 (ii) और (iii) का (i) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा-

\(\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{E_0}{hc}\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\)

\(Now, \ \dfrac{E_0}{hc}=R\)

इसे सम्बन्ध (iii) के अनुसार आवृति के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है,

\(\nu=cR\left(\dfrac{1}{n_f^2} - \dfrac{1}{n_i^2}\right)\)

जहाँ , R = \(1.09 \times 10^7 m^{-1}\) रिडबर्ग नियतांक है

          , \(n_f \) अंतिम कक्षा है \(n_i \)संक्रमण से पहले की प्रारंभिक कक्षा है

उच्चतम आवृत्ति के लिए,  \(n_f =1 \) और  \(n_i=\infty\)

Additional Information

\(c= \lambda \nu\), समीकरण का उपयोग करके आवृत्ति की गणना होने के बाद हम तरंगदैर्ध्य और तरंग दैर्ध्य प्राप्त कर सकते है

अवधारणा:

बोर का परमाणु मॉडल,

• इलेक्ट्रॉनों विविक्त ऊर्जा के साथ वृत्ताकार कक्षकों में नाभिक के चारों ओर घूमते हैं, अर्थात्, ऊर्जा क्वांटित होती है।
• कक्षकों की त्रिज्या भी निश्चित है।
• जब इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा प्रदान की जाती है, तो वे उच्च कक्षकों में जाते हैं।
• इलेक्ट्रॉनों का कोणीय संवेग क्वांटित होता है और निम्न प्रकार दिया जाता है

 \(mvr = \frac{{nh}}{{2\pi }}\)

• एक इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए प्रकाश ν की आवृत्ति जो ऊर्जा में भिन्न होती है

\(\Delta E\;isequal\;to = \frac{{\Delta E}}{h} = \frac{{hν '' - hν '}}{h} = ν \;\;\) जहाँ hν'' और hν' क्रमशः उच्च और निम्न कक्षकों की ऊर्जा है।

• एक स्थिर कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निम्न प्रकार दी जाती है:

\(E_n = - R_H\frac{{Z^2}}{{n^2}}\)

स्पष्टीकरण:

जब इलेक्ट्रॉन वोल्ट में व्यक्त किया जाता है, तो कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निम्न प्रकार दी जाती है:

\(E_n = - 13.6\frac{{Z^2}}{{n^2}}eV\)

जब  Z=1, n= 1 , E = -13.6eV.

जब परमाणु प्रथम उत्तेजित अवस्था में होता है, तो n=2 हो जाता है और ऊर्जा इस प्रकार होती है:

\(E = - 13.6\frac{{1^2}}{{2^2}} = - \frac{{13.6}}{4} = -3.4eV\)

अतः, मूल अवस्था में एक हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा -3.4eV है।

परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को विकिरण किए बिना कुछ स्थिर और असतत कक्षाओं में नाभिक के चारों ओर घूमता है। ऊर्जा तभी विकिरणित होती है जब एक इलेक्ट्रॉन एक ऊर्जा स्तर से दूसरे में जाता है। ऊर्जा विकिरण विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम में एक निश्चित क्षेत्र से सम्बन्धित होती है।  

ऊर्जा क्षय या प्राप्त तब होती है जब एक इलेक्ट्रॉन एक आवृत्ति \(\nu \) के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण को अवशोषित या उत्सर्जित करके कक्षा में जाता है। निम्नलिखित संबंध के अनुसार स्तरों की ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है  , जहाँ h प्लैंक नियतांक है

हम जानते है-
\(E_f-E_i=h\nu\)   -------(i)

चूँकि, \(E=\dfrac{E_0}{n^2} \)  -----(ii) 

\(c=\lambda\nu\)     --------(iii) 

 (ii) और (iii) का (i) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा-

\(\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{E_0}{hc}\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\)

\(Now, \ \dfrac{E_0}{hc}=R\)

इसे सम्बन्ध (iii) के अनुसार आवृति के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है,

\(\nu=cR\left(\dfrac{1}{n_f^2} - \dfrac{1}{n_i^2}\right)\)

जहाँ , R = \(1.09 \times 10^7 m^{-1}\) रिडबर्ग नियतांक है

          , \(n_f \) अंतिम कक्षा है \(n_i \)संक्रमण से पहले की प्रारंभिक कक्षा है

उच्चतम आवृत्ति के लिए,  \(n_f =1 \) और  \(n_i=\infty\)

Additional Information

\(c= \lambda \nu\), समीकरण का उपयोग करके आवृत्ति की गणना होने के बाद हम तरंगदैर्ध्य और तरंग दैर्ध्य प्राप्त कर सकते है

अवधारणा:

• हाइड्रोजन वर्णक्रम: हम सभी जानते हैं कि जब एक परमाणु या अणु में एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को अवशोषित करता है तो यह उत्तेजित हो जाता है और फिर एक निचले ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर तक कूदता है, और जब यह इलेक्ट्रॉन अपने मूल अवस्था में वापस आता है तो यह एक फोटॉन उत्सर्जित करता है । यह परिघटना हाइड्रोजन के माध्यम से उत्सर्जन वर्णक्रम के लिए भी है, जिसे हाइड्रोजन उत्सर्जन वर्णक्रम के रूप में जाना जाता है ।
• उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य रीडबर्ग सूत्र द्वारा इस प्रकार होगी,

​\(\Rightarrow \frac{1}{λ}=R\left ( \frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}} \right )\)     -----(1)

• 𝜆 तरंगदैर्ध्य है
• R है रीडबर्ग नियतांक का मान 1.09737✕107 m-1 है।
• n₁ निम्न ऊर्जा स्तर है
• n₂ उच्च ऊर्जा स्तर है

• हाइड्रोजन परमाणु के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं हैं,
  1. लाइमन श्रृंखला: n₁ = 1
  2. बाल्मर श्रृंखला: n₁ = 2
  3. पासचेन श्रृंखला: n1 = 3
  4. ब्रैकेट श्रृंखला: n1 = 4

गणना:

दिया गया है

λ_B = 6563Å

• लाइमन श्रृंखला की पहली पंक्ति के लिए: n1 = 1 और n₂ = 2

\(\Rightarrow \frac{1}{\lambda_{L}}=R\left ( \frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}} \right )\)     -----(2)

• बाल्मर श्रृंखला की पहली पंक्ति के लिए: n1 = 2 और n2 = 3

\(\Rightarrow \frac{1}{\lambda_{B}}=R\left ( \frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}} \right )\)     -----(3)

समीकरण 2 और समीकरण 3 से,

\(\Rightarrow \frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}}=\frac{\left ( \frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}} \right )}{\left ( \frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}} \right )}\)

\(\Rightarrow \frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}}=\frac{5}{27}\)

\(\Rightarrow\lambda_{L}=\frac{5}{27}\times6563\)

\(\Rightarrow\lambda_{L}=1215.4Å\)

• इसलिए, विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

• परमाणुओं के नाभिक में परमाणु के प्रोटॉन और न्यूट्रॉन होते हैं और इलेक्ट्रॉन कक्षाओं में नाभिक के चारों ओर घूमते हैं।
• प्रत्येक कक्षा के लिए इलेक्ट्रॉनों के लिए एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा होती है।

किसी भी कक्षा में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:

\({\bf{Energy}}\;{\bf{in}}\;{\bf{nth}}\;{\bf{orbit}}\left( {{E_{n\;}}} \right) = - 13.6\;\frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}eV\)

जहां n मुख्य क्वांटम संख्या है और Z परमाणु संख्या है

व्याख्या-

हाइड्रोजन परमाणु के लिए:

परमाणु संख्या (Z) = 1

दूसरी कक्षा, n = 2

\({\bf{Energy}}\;{\bf{in}}\;{\bf{nth}}\;{\bf{orbit}}{\rm{\;}}\left( {{E_{n\;}}} \right) = - 13.6\;\frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}\)

\({\bf{Total}}\;{\bf{energy}}\;{\bf{of}}\;{\bf{an}}\;{\bf{electron}}\;{\bf{in}}\;2{\bf{nd}}\;{\bf{orbit}}\left( {{E_{2\;}}} \right) = - 13.6\;\frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}} = - 13.6\;\frac{{{1^2}}}{{{2^2}}} = - 3.4\;eV\)

अवधारणा:

• हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम: हम सभी जानते हैं कि जब एक परमाणु या अणु में एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को अवशोषित करता है तो वे उत्तेजित हो जाता है और फिर निम्न ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर पर जाता है, और जब यह इलेक्ट्रॉन अपनी मूल अवस्था में वापस आता है तो यह एक फोटॉन उत्सर्जित करता है। यह परिघटना हाइड्रोजन के माध्यम से उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के लिए भी उत्तरदायी है, जिसे हाइड्रोजन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है।
• उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्घ्य को निम्न रिड्बर्ग सूत्र द्वारा दिया गया है,

​\(\Rightarrow \frac{1}{λ}=R\left ( \frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}} \right )\)     -----(1)

जहाँ,

• 𝜆 तरंगदैर्ध्य है
• R रिड्बर्ग स्थिरांक है जिसका मान 1.09737✕107 m-1 है
• n1 निम्न ऊर्जा स्तर है
• n2 उच्च ऊर्जा स्तर है

• हाइड्रोजन परमाणु के लिए विभिन्न श्रेणियाँ निम्नलिखित हैं,
  1. लाइमैन श्रेणी: n1 = 1
  2. बामर श्रेणी: n1 = 2
  3. पाशन श्रेणी: n1 = 3
  4. ब्रेकेट श्रेणी: n1 = 4

स्पष्टीकरण:

• बामर श्रेणी में इलेक्ट्रॉन का n ≥ 3 से n = 2 में संक्रमण होता है, जहां n मुख्य क्वांटम संख्या है। अतः, विकल्प 2 सही है।
• उत्सर्जित रेखाओं को H-अल्फ़ा, H-बीटा, H-गामा, इत्यादि कहा जाता है।

व्याख्या:

बोर की त्रिज्या:

एक स्थिर नाभिक के चारों ओर एक इलेक्ट्रॉन के लिए, स्थिर वैद्युत आकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।

गणितीय रूप से एक कक्षा की त्रिज्या इस प्रकार दी जा सकती है:

\({r_n} = \frac{{0.53{n^2}}}{Z}{\rm{{\dot A}}}\)

जहां:

Z = परमाणु संख्या, n = कक्षा संख्या

इसलिए, r ∝ n²/Z

गणना:

दिया गया:

परमाणु हीलियम (Z = 2) के लिए, दूसरी कक्षा n = 2, त्रिज्या r_n = 105.8 pm

लिथियम Z = 3 के लिए, तीसरी कक्षा n = 3, त्रिज्या = ?

गणितीय रूप से एक कक्षा की त्रिज्या इस प्रकार दी जा सकती है:

\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{{\frac{n_1^2}{Z_1}}}{\frac{n_2^2}{Z_2}}{\rm{{}}}\) जहां, r₁ , n₁ और Z₁ हीलियम आयन की त्रिज्या, कक्षा संख्या और परमाणु संख्या हैं और r₂ , n₂ और Z₂ लिथियम-आयन की त्रिज्या, कक्षा संख्या और परमाणु संख्या हैं।

इसलिए,→ \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{{\frac{2^2}{2}}}{\frac{3^2}{3}}{\rm{{}}}\)

→ r₁/r₂ = 2/3

→ r2 = 1.5 × 105.8 pm

→ r2 = 158.7 pm

निष्कर्ष:

अवधारणा :

द्रव्यमान वाले किसी भी गतिमान कण में संवेग होता है।

संवेग वेग और द्रव्यमान का गुणन है।

लेकिन कोणीय संवेग तब उत्पन्न होता है जब द्रव्यमान युक्त घूमने या घूर्णन करने वाली वस्तु गति करती है।

व्याख्या

पहला कक्षीय कोणीय संवेग बोर अभिगृहीत द्वारा दिया गया था।

यह बताया गया कि कोणीय संवेग nh/2π के बराबर होता है।

mvr = nh/2π

लेकिन इसकी ठीक से व्याख्या नहीं की गयी है।

डि ब्राग्ली ने किसी भी सूक्ष्म पिंड की तरंग-कण प्रकृति को प्रतिपादित किया है।

फिर कोणीय संवेग की गणना द्विगंशी क्वांटम संख्या का उपयोग करके की।    l(l+1)h2π" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(255, 255, 255, 0); display: inline; line-height: 49px; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; position: relative;" tabindex="0">( एल + 1 )------l(l+1)h2π" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="-webkit-tap-highlight-color: rgba(255, 255, 255, 0); display: inline; line-height: 49px; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; position: relative;" tabindex="0">एल ( एल + 1 )------एचदोपहर 2 ब

निष्कर्ष

अतः कक्षीय कोणीय संवेग द्विगंशी क्वांटम संख्या (l) पर निर्भर करती है। 

अवधारणा:

बोर का परमाणु मॉडल,

• इलेक्ट्रॉनों विविक्त ऊर्जा के साथ वृत्ताकार कक्षकों में नाभिक के चारों ओर घूमते हैं, अर्थात्, ऊर्जा क्वांटित होती है।
• कक्षकों की त्रिज्या भी निश्चित है।
• जब इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा प्रदान की जाती है, तो वे उच्च कक्षकों में जाते हैं।
• इलेक्ट्रॉनों का कोणीय संवेग क्वांटित होता है और निम्न प्रकार दिया जाता है

 \(mvr = \frac{{nh}}{{2\pi }}\)

• एक इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के लिए प्रकाश ν की आवृत्ति जो ऊर्जा में भिन्न होती है

\(\Delta E\;isequal\;to = \frac{{\Delta E}}{h} = \frac{{hν '' - hν '}}{h} = ν \;\;\) जहाँ hν'' और hν' क्रमशः उच्च और निम्न कक्षकों की ऊर्जा है।

• एक स्थिर कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निम्न प्रकार दी जाती है:

\(E_n = - R_H\frac{{Z^2}}{{n^2}}\)

स्पष्टीकरण:

जब इलेक्ट्रॉन वोल्ट में व्यक्त किया जाता है, तो कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा निम्न प्रकार दी जाती है:

\(E_n = - 13.6\frac{{Z^2}}{{n^2}}eV\)

जब  Z=1, n= 1 , E = -13.6eV.

जब परमाणु प्रथम उत्तेजित अवस्था में होता है, तो n=2 हो जाता है और ऊर्जा इस प्रकार होती है:

\(E = - 13.6\frac{{1^2}}{{2^2}} = - \frac{{13.6}}{4} = -3.4eV\)

अतः, मूल अवस्था में एक हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा -3.4eV है।

अवधारणा:

डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य -

डी ब्रोगली का कहना है कि प्रत्येक पदार्थ एक तरंग से जुड़ा होता है।

प्रत्येक पदार्थ में एक दोहरी प्रकृति तरंग के साथ-साथ एक कण भी होता है।

उन्होंने वेग 'v' से गतिमान कण की तरंगदैर्घ्य की गणना करने के लिए एक समीकरण दिया है।

i.e. \(\lambda =\frac{h}{m_e v} \)

बोर की परिकल्पना के साथ डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य का संबंध- 

→  \(\lambda =\frac{2π r}{n}\)

डी ब्रोगली के अनुसार, तरंगदैर्घ्य \(\lambda =\frac{h}{m_e v} \)------(1)

जहाँ, λ = एक इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्घ्य

h = प्लांक स्थिरांक, m_e = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान

v = n^वीं कक्षक में इलेक्ट्रॉन का वेग

बोर के अनुसार, n^वीं कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग h/2π का गुणज होता है।

mevr = \(\frac{nh}{2π }\)  --------(2)

इसलिए, mev = \(\frac{nh}{2π r }\)    -------- (3)

जहाँ me = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान

v = n^वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग

h = प्लांक स्थिरांक, n = कक्षक की संख्या

r = n^वीं कक्षक की त्रिज्या

समीकरण (3) को (1) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं -

→ \(\lambda =\frac{h}{nh} × 2π r\)

→  \(\lambda =\frac{2π r}{n}\)

गणना:

दिया गया है, n = 2 

λ = π r  ---------- (4)

→ \(r=a_o × \frac{n^2}{Z}\)

जहाँ, ao = बोर की त्रिज्या

n = कक्षक की संख्या

Z = तत्व की परमाणु संख्या

दिया गया है, ao = 52.9 pm

n = 2, Z = 1

हम प्राप्त करते हैं,

r = 52.9 × 4 = 211.6 pm

समीकरण में r का मान रखने पर (4)

λ = 211.6 π pm

इसलिए, हाइड्रोजन परमाणु में, दूसरे बोर कक्षक में एक इलेक्ट्रॉन की डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य 211.6 π pm है।

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा को विकिरण किए बिना कुछ स्थिर और असतत कक्षाओं में नाभिक के चारों ओर घूमता है। ऊर्जा तभी विकिरणित होती है जब एक इलेक्ट्रॉन एक ऊर्जा स्तर से दूसरे में जाता है। ऊर्जा विकिरण विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम में एक निश्चित क्षेत्र से सम्बन्धित होती है।  

ऊर्जा क्षय या प्राप्त तब होती है जब एक इलेक्ट्रॉन एक आवृत्ति \(\nu \) के साथ विद्युत चुम्बकीय विकिरण को अवशोषित या उत्सर्जित करके कक्षा में जाता है। निम्नलिखित संबंध के अनुसार स्तरों की ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है  , जहाँ h प्लैंक नियतांक है

हम जानते है-
\(E_f-E_i=h\nu\)   -------(i)

चूँकि, \(E=\dfrac{E_0}{n^2} \)  -----(ii) 

\(c=\lambda\nu\)     --------(iii) 

 (ii) और (iii) का (i) में प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा-

\(\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{E_0}{hc}\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\)

\(Now, \ \dfrac{E_0}{hc}=R\)

इसे सम्बन्ध (iii) के अनुसार आवृति के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है,

\(\nu=cR\left(\dfrac{1}{n_f^2} - \dfrac{1}{n_i^2}\right)\)

जहाँ , R = \(1.09 \times 10^7 m^{-1}\) रिडबर्ग नियतांक है

          , \(n_f \) अंतिम कक्षा है \(n_i \)संक्रमण से पहले की प्रारंभिक कक्षा है

उच्चतम आवृत्ति के लिए,  \(n_f =1 \) और  \(n_i=\infty\)

Additional Information

\(c= \lambda \nu\), समीकरण का उपयोग करके आवृत्ति की गणना होने के बाद हम तरंगदैर्ध्य और तरंग दैर्ध्य प्राप्त कर सकते है