Algebraic Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebraic Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया फलन \( f(x) = x^2 + 9 \) है। 

कथन I: f(x) एक वर्धमान फलन है।

f(x) का अवकलज है:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 9) = 2x \)

जब \(( x > 0 )\), \(( f'(x) > 0 )\) है, इसलिए (f(x) वर्धमान है।

जब (x < 0), f'(x) < 0 ) है, इसलिए f(x) ह्रासमान है।

(x = 0) पर, ( f'(x) = 0 ), जिसका अर्थ है कि फलन इस बिंदु पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

इसलिए, f(x) पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह (x > 0) के लिए वर्धमान है और ( x < 0) के लिए ह्रासमान है।

कथन II: f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ x = 0 पर है। 

चूँकि फलन \( f(x) = x^2 + 9 \) ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है (क्योंकि x² का गुणांक धनात्मक है), इसका x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

निष्कर्ष:

- कथन I गलत है क्योंकि फलन पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह x > 0 के लिए वर्धमान है और x < 0 के लिए ह्रासमान है।

- कथन II गलत है क्योंकि फलन का x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 3 \) और \( g(x) = \sqrt{x^2 + 16} - 4 \).है,

हमें यह ज्ञात करना है:

\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \)

अंश और हर दोनों को उनके संगत संयुग्मों से गुणा करने पर:

\( \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{\sqrt{x^2 + 16} - 4} \times \frac{\sqrt{x^2 + 9} + 3}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} \times \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} \)

अंश को सरल करने पर:

\( (\sqrt{x^2 + 9} - 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3) = x^2 \)

हर को सरल करने पर:

\( (\sqrt{x^2 + 16} - 4)(\sqrt{x^2 + 16} + 4) = x^2 \)

अब, व्यंजक बन जाता है:

\( \frac{x^2}{x^2} \times \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} \)

सरल करने पर और सीमा का मूल्यांकन करने पर:

\( \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} \) यह बन जाता है:

\( \frac{\sqrt{16} + 4}{\sqrt{9} + 3} = \frac{4 + 4}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

प्रयुक्त सूत्र

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना

दिया गया है, \(\lim_{x \to 12} \frac{x^3 - 1728}{x - 12}\)

x³ - 1728 = (x - 12)(x² + 12x + 144)

⇒ \(\lim_{x \to 12} \frac{(x - 12)(x^2 + 12x + 144)}{x - 12}\)

⇒ \(\lim_{x \to 12} (x^2 + 12x + 144)\)

अब, x = 12 प्रतिस्थापित करने पर

⇒ 12² + 12 (12) + 144 = 144 + 144 + 144 = 432

∴ सीमा का मान : 432 है। 

संकल्पना:

\(\rm a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

L-हॉस्पिटल नियम: यदि हमारे पास एक अनिश्चित रूप 0/0 या ∞/∞ है तो हमें केवल अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करना है और फिर सीमा को लेना है।

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^4-1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow k} \dfrac{x^3-k^3}{x^2-k^2}\)

LHS =

 \(\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^4-1}{x-1} \\ =\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{x-1} \\ =\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1} \\ =\rm \displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}(x+1)(x^2+1)\\ =(1+1)(1+1)\\ =4\)

RHS = \(\rm \lim_{x\rightarrow k} \dfrac{x^3-k^3}{x^2-k^2}\)

यहाँ हमारे पास 0/0 रुप है इसलिए L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

\(\rm \lim_{x\rightarrow k} \dfrac{x^3-k^3}{x^2-k^2}=\rm \lim_{x\rightarrow k}\frac{3x^2}{2x}\\ =\rm \lim_{x\rightarrow k}\frac{3x}{2}\\ =\frac{3k}{2}\)

∴4 = 3k/2

⇒ 3k = 8

⇒ k = 8/3

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

माना \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x) और \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\) g(x) परिमित रूप से अस्तित्व में है, तब  \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\) [f(x)+g(x)] = \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x) + \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)g(x)

स्पष्टीकरण:

 \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x)=L और \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)g(x) =M

तब, \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)[f(x)+g(x)] =  \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)f(x) + \(\rm \lim_{x\rightarrow a}\)g(x) = L+M

अतः विकल्प (1) सत्य है। 

अवधारणा:

सीमा के मान प्राप्त करने के लिए दिए गए सीमा मान को दिए गए फलन में पहले रखना होगा।

गणना:

दिया हुआ,

\(\rm \lim_{x→ 5} \frac{x^2 - 25}{x^2-2x-10}\)

x → 5 मान रखकर हम प्राप्त करते हैं

\(\rm \lim_{x\rightarrow 5} \frac{5^2 - 25}{5^2-2\times 5-10}\)

= \(\rm 0 \over 5\)

= 0

तो, उत्तर 0 है।

गणना:

हमें \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{y\;}} \to 0} \frac{{\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} - {\rm{\;}}\sqrt 2 }}{{{{\rm{y}}^2}}}\) का मूल्य खोजना होगा 

अंश का परिमेयीकरण करें, हम प्राप्त करते हैं

\(= {\rm{\;}}\mathop {\lim }\limits_{{\rm{y\;}} \to 0} \frac{{\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} - {\rm{\;}}\sqrt 2 }}{{{{\rm{y}}^2}}} \times \frac{{\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} + {\rm{\;}}\sqrt 2 }}{{\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} + \sqrt 2 }}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{{\rm{y}} \to 0} \frac{{2 + {\rm{\;}}{{\rm{y}}^2} - 2}}{{{{\rm{y}}^2}\left( {\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} + {\rm{\;}}\sqrt 2 } \right)}} = \;\mathop {\lim }\limits_{{\rm{y}} \to 0} \frac{{{\rm{\;}}{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{y}}^2}\left( {\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} + {\rm{\;}}\sqrt 2 } \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{y}} \to 0} \frac{1}{{\left( {\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} + {\rm{\;}}\sqrt 2 } \right)}}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt {2 + 0} + {\rm{\;}}\sqrt 2 } \right)}}\)

\( = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

अतः, \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{y\;}} \to 0} \frac{{\sqrt {2 + {{\rm{y}}^2}} - {\rm{\;}}\sqrt 2 }}{{{{\rm{y}}^2}}} = {\rm{\;}}\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\)

गणना​:

\(\rm \displaystyle \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3) (\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3} \) का मान ज्ञात करना होगा।

\(\rm \displaystyle \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3) (\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3} \) [फॉर्म \(\dfrac{0}{0}\) ]

यह सीमा \(\dfrac{0}{0}\) , यहां, हम अंश और हर में से शून्य पर जाने वाले कारक को रद्द कर सकते हैं।

\(\rm \displaystyle \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3) (\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3} \\= \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(x - 1)}\\=\displaystyle\lim_{x → 1} \dfrac{(2 x - 3)(\sqrt{x }- 1)}{(2x + 3)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}\)

गुणनखंड (√x - 1) x की प्रवृत्ति 1 पर शून्य हो जाता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणनखंड को रद्द करने की आवश्यकता है।

\(=\displaystyle \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3)}{(2x + 3)(\sqrt{x} + 1)}\\=\displaystyle \dfrac{2 - 3}{(2 + 3)(\sqrt{1} + 1)}\\= \dfrac{- 1}{10}\)

शॉर्टकट ट्रिक

माना,

y = \(\rm \displaystyle \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3) (\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3} \)

यह एक 0/0 फॉर्म है। अतः हम L'Hopital का नियम लागू कर सकते हैं।

अंश और हर को अलग-अलग अवकलित करना,

हम जानते हैं कि,

d(uv) = u dv + v du और

\(\frac{d}{dx}x^n=x^{n-1}\)

⇒y = \(\rm \displaystyle \lim_{x → 1} \dfrac{(2x - 3)\frac{1}{2\sqrt x}+ 2(\sqrt{x} - 1)}{4x +1} \)

⇒ y = \( \dfrac{\frac{-1}{2}}{4 +1} \)

y = \(\dfrac{-1}{10}\)

संकल्पना:

L - हॉस्पिटल का नियम:

यदि सीमा \({0\over 0}\) या \({\pm\infty\over \pm\infty}\) हो जाती है, तो इसे अंश और हर का अवकलन करके हल किया जाता है।

गणना:

सीमाओं को रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm \lim_{x\rightarrow \infty}{x^4 + 3x^2 + 5\over x^4 +x^2 -6}\) = \(\infty\over\infty\)

L हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर

L(अर्थात्) = \(\rm \lim_{x\rightarrow \infty}{4x^3 + 6x\over 4x^3 +2x}\) = \(\rm \lim_{x\rightarrow \infty}{4x^2+ 6\over 4x^2 +2}\) = \(\infty\over \infty\)

फिर से L हॉस्पिटल नियम को लागू करने पर

⇒ L = \(\rm \lim_{x\rightarrow \infty}{8x\over 8x}\) 

⇒ \(\rm \lim_{x\rightarrow \infty}1\)

∴ L = 1 

अवधारणा:

L-हॉस्पिटल का नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित मामलों में से एक मामला है,

•  \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = {\rm{\;}}\frac{0}{0}\)
•  \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = {\rm{\;}}\frac{\infty }{\infty }\)

फिर हम L-हॉस्पिटल नियम लागू कर सकते हैं ⇔ \(\mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}\left( {\bf{x}} \right)}} = \;\mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}'\left( {\bf{x}} \right)}}\) 

टिप्पणी: हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों को अवकलित करना होगा जब तक कि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = {\rm{l}} \ne \frac{0}{0}\), जहां l एक परिमित मूल्य है।

गणना:

\(\text {Let L} =\rm \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} \frac{x+x^2+x^3+ ...+x^n - n}{x-1} \)          [सीमा का रूप (0/0)]

L हॉस्पिटल नियम को लागू करें, हमें मिलता है

\(=​​\rm \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{1}}} \frac{1+2x + 3x^2+4x^3+ ...+nx^{n-1} - 0}{1-0} \\=1+2+3+...+n\\=\frac{n(n+1)}{2}\)

दिया हुआ: L = 5050

\(\rm \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} = 5050\\\Rightarrow n^2+n=10100\\\Rightarrow n^2+n-10100 = 0\\\Rightarrow n^2+101n-100n-10100 = 0\\\Rightarrow n(n+101)-100(n+101) = 0\\\Rightarrow (n-100)(n+101) = 0\\\therefore n=100\)

संकल्पना:

यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) का परिणाम अनिश्चित रूप में नहीं आता है, तो हम सीमा ज्ञात करने के क्रम में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन का प्रयोग करते हैं। 

7 अनिश्चित रूप हैं, जो निम्न हैं:

• \((\frac{0}{0})\)
• \(\left( {\frac{{ \pm ∞ }}{{ \pm ∞ }}} \right)\)
• (∞ - ∞)
• (0 × ∞)
• 0⁰
• 1^∞
• ∞⁰

गणना:

दिया गया है: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 5x - 1} \right) = k\)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) का परिणाम अनिश्चित रूप में नहीं आता है, तो हम सीमा ज्ञात करने के क्रम में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन का प्रयोग करते हैं। 

यहाँ, साथ ही हम देख सकते हैं कि, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 5x - 1} \right)\) का परिणाम किसी अनिश्चित रूप में नहीं आता है। 

इसलिए, हम k का मान ज्ञात करने के क्रम में समीकरण 3x² + 5x - 1 में x = 2 रख सकते हैं। 

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 5x - 1} \right) = 3 \times 2^2 + 5 \times 2 - 1 = 21 = k \)

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

L - हॉस्पिटल नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन है। 

माना कि हमारे पास निम्नलिखित स्थितियों में से एक स्थिति निम्न है,

I. \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = \frac{0}{0}\)

II. \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = \frac{\infty }{\infty }\)

तो हम L - हॉस्पिटल नियम लागू कर सकते हैं ⇔ \(\mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}\left( {\bf{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}'\left( {\bf{x}} \right)}}\)

गणना:

दिया गया फलन f(x) = \(\frac{1}{{\sqrt {10 - {{\rm{x}}^2}} }}\)  है। 

\(\rm f(x)=\frac{1}{\sqrt {10-x^2}} = (10-x^2)^{-1/2}\\f'(x)=\frac{-1}{2}(10-x^2)^{(\frac{-1}{2}-1)}\times (0-2x)\\f'(x)=\frac{x}{(10-x^2)^{3/2}}\)

इसलिए, f(1) = \(\frac{1}{{\sqrt {10 - {1^2}} }}\) = 1/3

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 1{\rm{\;}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( 1 \right)}}{{{\rm{x}} - 1}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to 1{\rm{\;}}} \frac{{\frac{1}{{\sqrt {10 - {{\rm{x}}^2}} }} - \frac{1}{3}}}{{{\rm{x}} - 1}}\)

x = 1 रखने पर, 0/0 रूप प्रदान करता है। 

L - हॉस्पिटल नियम लागू करने पर,

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to 1} \frac{\frac{x}{(10-x^2)^{3/2}}}{1} = \frac{1}{27}\)

अतः विकल्प (3) सही है।   

प्रयुक्त सूत्र:

1 - cos 2x = 2sin²x

गणना:

दिया गया है, \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{1−\cos 4x}}\)

limx→0 x / √(1 − cos 4x)

⇒ 1 − cos 4x = 2 sin²(2x)

⇒ √(1 − cos 4x) = √(2 sin²(2x)) = √2 × sin(2x)

⇒ limx→0 x / (√2 × sin(2x))

⇒ 1/√2 × limx→0 x / sin(2x)

⇒ 1/√2 × limx→0 1 / (2 × (sin(2x)/2x))

⇒ 1/√2 × 1/2 × 1 = 1 / (2√2)

संकल्पना:

L-हॉस्पिटल नियम: माना f(x) और g(x) दो फलन हैं

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित मामलों में से एक है,

I. \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{0}{0}\)

II. \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\infty }{\infty }\)

तब हम L-हॉस्पिटल नियम ⇔ \(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

नोट: हमें अंश और हर दोनों को x के सापेक्ष तब तक अवकलन करना होगा जब तक कि

\(\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =l\neq \frac{0}{0}\) जहां l एक परिमित मान है।

हल:

हमें \(\lim\limits_{x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{x-4}\) का मान ज्ञात करना होगा

\(\lim\limits_{x \to 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{x-4}\) सीमा का रूप (0/0) है 

L-हॉस्पिटल नियम लागू करना,

\(=\lim\limits_{x \to 4} \frac{0-\frac{1}{2\sqrt{5+x}}}{1-0}\)

\(=\frac{-1}{2\sqrt{9}}\)

\(=\frac{-1}{6}\)

सही विकल्प (2) है 

संकल्पना:

अनिश्चित रूप: कोई समीकरण जिसका मान 0/0, ±∞/∞, 00, ∞0 इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

अनिश्चित रूप ∞ - ∞ के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके परिमेयकरण कीजिए और फिर पदों को प्राप्त करने के लिए चर के उच्चतम घांत द्वारा पदों को इस प्रकार विभाजित कीजिए जिससे x → ∞ के रूप में 1/x → 0 है।

गणना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)=\infty - \infty\) ∴ सर्वप्रथम हम इसे इसके संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण निम्न रूप में करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\\=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \dfrac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{x\rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{x+\sqrt x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\)

\(\rm \displaystyle =\lim_{x\rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt x}}}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{3/2}}}}+1}\)                 ...(√x से विभाजित करने पर)

\(\rm =\dfrac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+\sqrt{0+0}}+1}=\dfrac{1}{2}\).