Multiple Pythagorean Identities MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Multiple Pythagorean Identities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যবহৃত সূত্র:

cosec²θ - cot²θ = 1

গণনা:

⇒ cosec θ + cot θ = m ---- (1)

⇒ (cosec θ - cot θ)(cosec θ + cot θ) = 1

⇒ (cosec θ - cot θ) =1/m

⇒ cosec θ - cot θ = 1/m ---- (2)

(1) এবং (2) যোগ করে পাই

2cosecθ = m + 1/m

cosecθ = (m² + 1)/2m ...(3)

(1) এবং (2) বিয়োগ করে পাই

2cotθ = m - 1/m ...(4)

cotθ = (m2 - 1)/2m

⇒ \(\rm\frac{m^{2}−1}{m^{2}+1}\)

(3) এবং (4) উপরের ব্যবস্থাপনায় বসিয়ে:

⇒ 2mcotθ/2mcosecθ

⇒ cotθ/cosecθ

⇒ cosθ

মানটি হল cosθ.

গণনা:

⇒ \(\frac{cosA(1 + sinA) + cosA(1 - sinA)}{{(1 + sinA)}{(1 -sinA)}}\) = 4

⇒ \(\frac{cosA + cosA.sinA + cosA - cosAsinA}{{(1 - sinA)}{(1 + sinA)}}\) = 4

⇒ 2/cosA = 4

⇒ cosA = 1/2

⇒ A = 60° 

∴ সঠিক উত্তর হল 60°

গণনা:

\(\rm \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{2}{5}\)

⇒ \(\rm \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{5}{2}\) 

C ও D নিয়ম প্রয়োগ করে আমরা পাই

⇒ \(\rm \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{5 + 2}{5 -2}\) 

⇒ tan x = 7/3

⇒ cot x = 3/7

এখন, নির্ণেয় মান

 \(\rm \frac{1+\cot^2x}{1-\cot^2x}\)

⇒ \(\rm \frac{1+(\frac{3}{7})^2}{1-(\frac{3}{7})^2}\) 

⇒ 58/40

⇒ 1.45

∴ সঠিক উত্তর 1.45

প্রদত্ত:

\(\frac{1+sin^4 θ+cos^4θ}{cos^2 θ+sin^4θ}\)

অনুসৃত সূত্র:

Sin ² θ = (1 - cos ² θ)

Cos ² θ = (1 - sin ² θ)

(a - b) ² = a ² + b ² - 2ab

গণনা:

⇒ (1 + sin ⁴ θ + cos ⁴ θ)/(cos ² θ + sin ⁴ θ)

⇒ {1 + sin ⁴ θ + (1 - sin ² θ) ² }/ (cos 2 θ + sin 4 θ)

⇒ {1 + sin 4 θ + 1 + sin ⁴ θ - 2 sin ² θ )}/(cos 2 θ + sin 4 θ)

⇒ {2 + 2 sin 4 θ - 2 × (1 - cos ² θ )}/(cos 2 θ + sin 4 θ)

⇒ {2 + 2 পাপ4 θ - 2 + 2cos 2 θ}/(cos 2 θ + sin 4 θ)

⇒ {2 sin 4 θ + 2cos 2 θ}/(cos 2 θ + sin 4 θ)

⇒ 2 × {sin 4 θ + cos 2 θ}(cos 2 θ + sin 4 θ)

⇒ 2

∴ সঠিক উত্তর হল 2

শর্টকাট ট্রিকগণনা:

⇒ (1 + sin 4 θ + cos 4 θ)/(cos 2 θ + sin 4 θ)

θ = 90° এর মান বসালে, 

⇒ (1 + sin 4 90° + cos 4 90°)/(cos 2 90° + sin 4 90°)

⇒ (1 + 1 + 0)/(0 + 1)

⇒ 2

∴ সঠিক উত্তর হল 2

প্রদত্ত:

sin θ + cosec θ = √5

অনুসৃত ধারণা:

x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x)

গণনা:

sin θ + cosec θ = √5

⇒ sin θ + 1/sin θ = √5

এখন,

sin3 θ + 1/sin3 θ = (√5)3 - 3(√5)

⇒ 5√5 - 3√5 = 2√5

∴ কাঙ্ক্ষিত উত্তর হল 2√5.

প্রদত্ত:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
 

অনুসৃত ধারণা:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)² - 2ab = a² + b²

6. sin²α + cos²α = 1

গণনা:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ \(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ -2

∴ নির্ণেয় উত্তর -2 

Shortcut Trick 

এই প্রশ্নটি সমাধান করতে মান নির্ণয় পদ্ধতি ব্যবহার করুন, 

Use θ = 45° 

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ
⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ প্রশ্নের সঠিক উত্তর হল -2 

প্রদত্ত:

a cot θ + b cosec θ = p

b cot θ + a cosec θ = q

অনুসৃত সূত্র:

Cosec² θ - cot² θ = 1

গণনা:

a cot θ + b cosec θ = p

উভয় পক্ষকে বর্গ করে, 

(a cot θ + b cosec θ)² = (p)²

a² cot² θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = p² ----- (1)

b cot θ + a cosec θ = q

উভয় পক্ষকে বর্গ করে, 

(b cot θ + a cosec θ)2 = (q)2

b2 cot2 θ  + a2 cosec2 θ  + 2 × ab cot θ × cosec θ = q2 ----- (2)

সমীকরণ (1) এবং (2) বিয়োগ করে 

⇒ (p² - q²) = a2 cot2 θ  + b2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ - (b2 cot2 θ + a2 cosec2 θ  + 2 × ab × cot θ × cosec θ)

⇒ a2 cot2 θ - a2 cosec2 θ + b2 cosec2 θ - b2 cot2 θ 

প্রদত্ত:

sec2 A + tan2 A = \(\frac{4}{{17}}\)

অনুসৃত​ ধারণা:

sec2 A - tan2 A = 1

a² - b² = (a + b)(a - b)

গণনা:

⇒ sec4 A - tan4 A = (sec² A + tan² A )(sec2 A - tan2 A )

⇒ sec4 A - tan4 A = 4/17 × 1

⇒ sec4 A - tan4 A = 4/17

∴ বিকল্প 3 হল সঠিক উত্তর।

গণনা:

⇒ \(\frac{cosA(1 + sinA) + cosA(1 - sinA)}{{(1 + sinA)}{(1 -sinA)}}\) = 4

⇒ \(\frac{cosA + cosA.sinA + cosA - cosAsinA}{{(1 - sinA)}{(1 + sinA)}}\) = 4

⇒ 2/cosA = 4

⇒ cosA = 1/2

⇒ A = 60° 

∴ সঠিক উত্তর হল 60°

প্রদত্ত:

tan A + cot A = 2

গণনা:

প্রশ্নানুসারে,

আমাদের আছে, tan A + cot A = 2

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

⇒ (tan A + cot A)² = (2)²

⇒ tan² A + cot² A + 2(tan A)(cot A) = 4

⇒ tan² A + cot² A + 2(tan A)(1/tan A) = 4

⇒ tan² A + cot² A + 2 = 4

⇒ tan² A + cot² A = 2

অতএব,

2(tan2 A + cot2 A) = 2 × 2

⇒ 4

∴  2(tan2 A + cot2 A) এর মান  হল 4

Shortcut Trickআমরা মান নির্ণয় পদ্ধতির সাথে যেতে পারি,

যদি আমরা A = 45° রাখি তবে এটি tan A + cot A = 2 সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তাই

2(tan2 A + cot2 A) 

⇒ 2(1 + 1)

⇒ 4

অনুসৃত সূত্র:

sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2 sin² θ × cos² θ

গণনা:

(sin4 θ + cos4 θ)/(1 - 2 sin2 θ × cos2 θ)  

⇒ (1 - 2 sin2 θ × cos2 θ)/(1 - 2 sin2 θ × cos2 θ)

⇒ 1

∴ সঠিক উত্তর 1

গণনা:

\(\rm \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{2}{5}\)

⇒ \(\rm \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{5}{2}\) 

C ও D নিয়ম প্রয়োগ করে আমরা পাই

⇒ \(\rm \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{5 + 2}{5 -2}\) 

⇒ tan x = 7/3

⇒ cot x = 3/7

এখন, নির্ণেয় মান

 \(\rm \frac{1+\cot^2x}{1-\cot^2x}\)

⇒ \(\rm \frac{1+(\frac{3}{7})^2}{1-(\frac{3}{7})^2}\) 

⇒ 58/40

⇒ 1.45

∴ সঠিক উত্তর 1.45

প্রদত্ত :

tan² θ + tan⁴ θ = 1

অনুসৃত ধারণা :

tan2 θ + 1 = sec² θ

গণনা :

⇒ tan2 θ + tan4 θ = 1

⇒ tan2 θ (1 + tan2 θ) = 1

⇒ tan2 θ × sec² θ = 1

⇒ tan2 θ = 1/sec² θ = cos² θ 

এখন সমীকরণে tan2 θ এর মান রেখে পাই :

⇒ tan2 θ + tan4 θ = 1

⇒ tan2 θ + (tan²)² θ = 1

⇒ cos2 θ + (cos²)² θ = 1

⇒ cos² θ + cos⁴ θ = 1

∴ সঠিক বিকল্প হল 2

প্রদত্ত:

sin θ + cosec θ = √5

অনুসৃত ধারণা:

x3 + 1/x3 = (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x)

গণনা:

sin θ + cosec θ = √5

⇒ sin θ + 1/sin θ = √5

এখন,

sin3 θ + 1/sin3 θ = (√5)3 - 3(√5)

⇒ 5√5 - 3√5 = 2√5

∴ কাঙ্ক্ষিত উত্তর হল 2√5.

ব্যবহৃত সূত্র:

cosec²θ - cot²θ = 1

গণনা:

⇒ cosec θ + cot θ = m ---- (1)

⇒ (cosec θ - cot θ)(cosec θ + cot θ) = 1

⇒ (cosec θ - cot θ) =1/m

⇒ cosec θ - cot θ = 1/m ---- (2)

(1) এবং (2) যোগ করে পাই

2cosecθ = m + 1/m

cosecθ = (m² + 1)/2m ...(3)

(1) এবং (2) বিয়োগ করে পাই

2cotθ = m - 1/m ...(4)

cotθ = (m2 - 1)/2m

⇒ \(\rm\frac{m^{2}−1}{m^{2}+1}\)

(3) এবং (4) উপরের ব্যবস্থাপনায় বসিয়ে:

⇒ 2mcotθ/2mcosecθ

⇒ cotθ/cosecθ

⇒ cosθ

মানটি হল cosθ.