$\int y d x$ किसके बराबर है?

जहाँ $c$ समाकलन-अचर है।

Question

Question

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: माना कि फलन $y = (1 - cos x)^{- 1}$ , जहाँ $$x \ne 2n\pi$$ और $n$ एक पूर्णांक है।

This question was previously asked in

NDA-I (Mathematics) Official Paper (Held On: 13 Apr, 2025)

Answer 1

गणना:

दिया गया है,

फलन $y = \left(1 - \cos(x)\right)^{-1} $ है, जहाँ $x \neq 2n\pi $ और n एक पूर्णांक है।

दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$ y = \frac{1}{1 - \cos(x)} $

सर्वसमिका $1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) $ का उपयोग करके, हम फलन को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

$ y = \frac{1}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} $

हमें जिस समाकल का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है, वह निम्न है:

$ \int \frac{dx}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} $

$ \frac{1}{2} \int \csc^2\left(\frac{x}{2}\right) dx $

$\csc^2(x) $ का समाकल $ -\cot(x) $ के रूप में जाना जाता है, इसलिए हमें मिलता है:

$ \frac{1}{2} \left( -\cot\left(\frac{x}{2}\right) \right) + C $

$ -\frac{1}{2} \cot\left(\frac{x}{2}\right) + C $

अंतिम परिणाम $ -\cot\left(\frac{x}{2}\right) + C $ है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

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