\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - \;\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}\) किसके बराबर है?

धारणा:

L-हॉस्पिटल का नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित मामलों में से एक मामला है,

1. \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = {\rm{\;}}\frac{0}{0}\)
2. \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)}}{{{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)}} = {\rm{\;}}\frac{\infty }{\infty }\)

फिर हम L-हॉस्पिटल नियम लागू कर सकते हैं ⇔ \(\mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}\left( {\bf{x}} \right)}} = \;\mathop {\lim }\limits_{{\bf{x}} \to {\bf{a}}} \frac{{{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)}}{{{\bf{g}}'\left( {\bf{x}} \right)}}\)

टिप्पणी: हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों को अवकलित करना होगा जब तक कि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = l \ne \frac{0}{0}\) जहां l एक परिमित मूल्य है।

गणना:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - \;\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}\)                 [रूप 0/0]

L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - \;\left( {0 + 1} \right)}}{{2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - \;1}}{{2x}}\)              [रूप 0/0]

फिर से L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - \;0}}{2} = \frac{{{e^0}}}{2} = \frac{1}{2}\)