सदिश \(\vec{a}=α \hat{i}+2\hat{j}+β \hat{k}\) ,सदिश \(\vec{b}=\hat{i} + \hat{j}\) और  \(\vec{c}=\hat{j} + \hat{k}\) के तल में है और कोण को \(\vec{b}\) और \(\vec{c}\) के बीच समद्विभाजित करता है। फिर, निम्न में से कौनसा α और β के संभावित मान देता है?

संकल्पना: 

यदि दो या दो से अधिक सदिश एक ही तल पर स्थित हों तो उन्हें समतलीय सदिश कहा जाता है और वे \(\left[ \vec{a}\vec{b}\vec{c} \right]=0\) शर्तों को पूरा करते हैं

\(\left| \begin{matrix} {{a}_{x}} & {{a}_{y}} & {{a}_{z}} \\ {{b}_{x}} & {{b}_{y}} & {{b}_{z}} \\ {{c}_{x}} & {{c}_{y}} & {{c}_{z}} \\ \end{matrix} \right|=0 \)

गणना: 

\(\left[ \vec{a}\vec{b}\vec{c} \right]=0 \)

\(\left| \begin{matrix} {α} & {2} & {β} \\ {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ \end{matrix} \right|=0 \)

\(α+β=2\)

साथ ही, \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) और \(\vec{c}\) के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।

\(\begin{align} & \vec{a}=\frac{λ }{√{2}}\left( \hat{b}+\hat{c} \right) \\ & =\frac{λ }{√{2}}\left( \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k} \right) \\ \end{align} \)

 \(\vec{a}=α \hat{i}+2\hat{j}+β \hat{k}\) से तुलना करने पर,

हम प्राप्त करते हैं, λ = √ 2, α =1, और β = 1