c और P(X > 1) का मान क्या है जिसके लिए फलन \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{c}{{\sqrt x }},}&{0 < x < 4}\\ {0,}&{otherwise} \end{array}} \right.\), p.d.f. है?

संकल्पना:

यादृच्छिक चर ‘x’ का विश्लेषण करने के लिए दो फलन का प्रयोग किया जाता है।

1) PDF (प्रायिकता वितरण फलन)

2) pdf (प्रायिकता घनत्व फलन)

CDF और pdf निम्न रूप में संबंधित हैं:

\(CDF = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty PDFdx\)  ----(1)

मान्य PDF के गुण:

1) \({f_X}\left( x \right) \ge 0,\;\forall \;x\;\epsilon\;R\)

∴ CDF, 0 और 1 के बीच परिबद्ध रहेगा। 

2) \(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {f_X}\left( x \right)dx = {P_X}\left( \infty \right) = 1\)  -----(2)

यहाँ P_X, CDF है। 

\({P_X}\left( \infty \right) = \begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{lim}}}\\ {x \to \infty } \end{array}{P_X}\left( x \right)\)

∴ CDF सदैव एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ फलन होगा क्योंकि प्रायिकता सदैव 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

गणना:

दिया गया है:

\(PDF \ = \ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{c}{{\sqrt x }},}&{0 < x < 4}\\ {0,}&{otherwise} \end{array}} \right.\)

समीकरण (2) का प्रयोग करने पर:

\(\mathop \smallint \limits_{ 0 }^4 {\frac{c}{\sqrt{x}}}dx=1\)

\([2c\sqrt{x}]^{4}_{0}=1 \)

4c = 1

\(c=\frac{1}{4}\)

अब P(X > 1) के लिए 

P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1)

\(P(X > 1) = 1 - [2c\sqrt{x}]^1_{0}\)

\(P(X > 1) = 1 - \frac{1}{2}(1-0)\)

\(P(X > 1) = \frac{1}{2}\)

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।