तल 2x - 3y + 6z - 11 = 0, X - अक्ष के साथ एक कोण sin-1 (∝) बनाता है। तो ∝ का मान किसके बराबर है?

संकल्पना:

यदि रेखा का समीकरण \(\rm \vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\) है और तल का समीकरण \(\rm \overrightarrow{r}. \overrightarrow{n}=d\) है, तो रेखा और तल के समानांतर दिशा में कोण α निम्न है,

\(\rm \sin α = \left | \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{b} \right |\left | \overrightarrow{n} \right |} \right |\)  

गणना:

X - अक्ष के साथ रेखा का समीकरण निम्न है,

\(\rm \overrightarrow{b}= \hat{i}\)

तल का समीकरण 2x -3y +6z - = 0 है। 

या सदिश रूप में, \(\rm \overrightarrow{n}= 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k}\)   

∴   \(\rm \sin α = \left | \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{b} \right |\left | \overrightarrow{n} \right |} \right |\)

⇒ \(\rm \sin α = \frac{\left ( 2\hat{i}-3\hat{j}+6\hat{k} \right ). \left ( \hat{i}+ 0\hat{j}+0\hat{k} \right )}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}. \sqrt{1^{2}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{49}}\)

⇒ sin α = \(\frac{2}{7}\) 

⇒ α = sin^-1 ( \(\frac{2}{7}\) )  

⇒ α = \(\frac{2}{7}\).

सही विकल्प 2 है।