फलन (Function) जो सूचित संकारक का आइगन फलन नहीं है, वह है

संकल्पना:

किसी संकारक का आइगेनफलन एक ऐसा फलन होता है, जिस पर जब संकारक लागू किया जाता है, तो वह स्वयं फलन को एक अदिश गुणक (जिसे आइगेनमान कहते हैं) से गुणित करके लौटाता है।

किसी फलन, ψ(x), और संकारक, के लिए

ψ(x) = λψ(x)

यदि यह संबंध किसी दिए गए फलन और संकारक के लिए सही है, तो वह फलन उस संकारक का आइगेनफलन है, और λ आइगेनमान है।

व्याख्या:

विकल्प 1: संकारक − x² फलन :

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(-x²/2)) - x²e^(-x²/2)

द्वितीय अवकलज लेने पर:

-e^(-x²/2) + x²e^(-x²/2) = (x²-1)e^(-x²/2)

इसका अर्थ है कि यह फलन इस संकारक के लिए आइगेनफलन है जिसका आइगेनमान -1 नहीं है।

संकारक: d²/dx² + x²
फलन: e^(-x²/2)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(-x²/2)) + x²e^(-x²/2)

द्वितीय अवकलज लेने पर:

(x²-1)e^(-x²/2) + x²e^(-x²/2) = (2x²-1)e^(-x²/2) ≠ λe^(-x²/2)

इसका अर्थ है कि यह फलन इस संकारक के लिए आइगेनफलन नहीं है।

इसलिए, दूसरा विकल्प सही उत्तर है।

पूर्णता के लिए, आइए शेष विकल्पों को शीघ्रता से सत्यापित करें।

संकारक: d²/dx²
फलन: cos(πx⁴)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(cos(πx⁴))

द्वितीय अवकलज लेने पर एक अधिक जटिल फलन प्राप्त होता है, जो cos(πx⁴) को एक स्थिरांक गुणक से गुणा करके वापस नहीं देगा, इसलिए यह इस संकारक का आइगेनफलन नहीं है।

संकारक: d²/dx²
फलन: e^(4ix)

फलन पर लागू संकारक है:

d²/dx²(e^(4ix))

द्वितीय अवकलज लेने पर प्राप्त होता है:

-16e^(4ix)

यह -16 से गुणा किया गया वही फलन है, इसलिए यह इस संकारक का आइगेनफलन है, जिसका आइगेनमान -16 है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, केवल विकल्प 2 अपने संगत संकारक का आइगेनफलन नहीं है।