मान लीजिए k एक mod n का क्रम है तो ab ≡ 1(mod n) यदि और केवल यदि

Question

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Answer 1

गणना:

माना b ∈ Z इस तरह है कि a^b≡ 1(mod n).

हम विभाजन एल्गोरिथ्म को b और k पर लागू करते हैं, तो हमारे पास है,

b = kq + r जहाँ 0 ≤ r ≤ k

विचार कीजिये, a^b = a^{kq + r} = (a^k)^q . a^r

परिकल्पना ab ≡ 1(mod n) और ak ≡ 1(mod n) करने पर

अतः, ar ≡ 1(mod n) जहाँ 0 ≤ r ≤ k

∴ r को शून्य के बराबर होना चाहिए और अन्यथा k का विकल्प सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक होता है जैसे कि ak ≡ 1(mod n) का खंडन किया जाएगा।

अतः, b = qk

⇒ k | b

⇒ k, b को विभाजित करता है

अतः, सही उत्तर विकल्प 2) है।