\(\int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx\) किसके बराबर है?

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \lfloor x^2 \rfloor \) है। 

हमें \( \int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx \) का मान ज्ञात करना है।

हम समाकल को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:

\( \int_{\sqrt{2}}^{2} f(x) dx = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx \)

परिसर \( \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3} \) के लिए, \( \lfloor x^2 \rfloor = 2 \) है। 

इसलिए, समाकल का पहला भाग है:

\( \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx = 2 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)

परिसर \( \sqrt{3} \leq x \leq 2 \) के लिए, \( \lfloor x^2 \rfloor = 3 \) है। 

इसलिए, समाकल का दूसरा भाग है:

\( \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 dx = 3 \times (2 - \sqrt{3}) \)

अब, हम मानों की गणना करते हैं:

\( 2 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \)

\( 3 \times (2 - \sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3} \)

दोनों भागों को मिलाने पर:

\( 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3} = 6 - 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।