\(\int_{1}^{4} x \sqrt{x} dx \)

संप्रत्यय:

बीजीय फलनों का समाकलन:

• दिया गया समाकल एक निश्चित समाकल है जिसमें x की घातें शामिल हैं।
• हम सर्वसमिका का उपयोग करके व्यंजक को सरल करते हैं: √x = x^1/2
• नियम का प्रयोग करें: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), जहाँ n ≠ −1 है।
• निश्चित समाकलों के लिए, समाकलन के बाद सीमाएँ लागू करें: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)

गणना:

दिया गया है,

\( \int_{1}^{4} x \sqrt{x} dx \)

⇒ x × √x = x × x^1/2 = x^3/2

⇒ \( \int_{1}^{4} x^{3/2} dx \)

⇒ \( \left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{1}^{4} \)

⇒ \( \left[\frac{2}{5} x^{5/2}\right]_{1}^{4} \)

⇒ \( \frac{2}{5}(4^{5/2} - 1^{5/2}) \)

⇒ 4^5/2 = (√4)⁵ = 2⁵ = 32

⇒ 1^5/2 = 1

⇒ \( \frac{2}{5}(32 - 1) = \frac{2}{5} \times 31 = \frac{62}{5} \) = 12.4

∴ निश्चित समाकल का मान 12.4 है।