यदि \(\rm \vec{a},\vec{b},\vec{c}\) ऐसे तीन गैर-शून्य सदिश हैं जिसमें से कोई भी दो संरेखीय नहीं हैं, \(\rm \vec{a}+2\vec{b}\), \(\rm \vec {c}\) के साथ संरेखीय है तथा \(\rm \vec{b}+3\vec{c}\), \(\rm \vec {a}\) के साथ संरेखीय है, तो \(\rm |\vec{a} +2 \vec{b}+6\vec{c}|\) किसके बराबर होगा?

संकल्पना:

यदि सदिश A दूसरे सदिश B के साथ संरेखीय है, तो इसे निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm \vec A = λ × \vec B\) जहाँ λ कोई सदिश संख्या है। 

गणना:

दिया गया है \(\rm \vec{a}+2\vec{b}\), \(\rm \vec {c}\) के साथ संरेखीय है। 

⇒ \(\rm \vec{a}+2\vec{b}\) = λ₁ × \(\rm \vec {c}\)                      ...(i)

साथ ही दिया गया है कि \(\rm \vec{b}+3\vec{c}\), \(\rm \vec {a}\)के साथ संरेखीय है। 

⇒ \(\rm \vec{b}+3\vec{c}\) = λ₂ × \(\rm \vec {a}\)                     ...(ii)

(i) से 2×(ii) को घटाने पर

⇒ \(\rm \vec{a}-6\vec{c} = λ_1 \vec c-2λ_2 \vec a\)

∴ λ₁ = - 6, λ₂ = \(\rm {-1\over2}\) 

(ii) से

⇒ \(\rm \vec{b}+3\vec{c}\)= \(\rm {-1\over2}\)\(\rm \vec {a}\)

⇒ \(\rm 2\vec{b}+6\vec{c}\)= \(\rm -\vec {a}\)

⇒ \(\rm \vec a+ 2\vec{b}+6\vec{c} = 0\)

⇒ \(\boldsymbol{\rm \left|\vec a+ 2\vec{b}+6\vec{c}\right| = 0}\)