वक्र γ पर विचार कीजिए जो इस प्रकार परिभाषित है:

\(\rm \gamma (\theta)=\left\{\begin{matrix}e^{2i \theta}&for\ \theta \in [0, \pi /2]\\\ 1+2e^{2i\theta}&for\ \theta \in [\pi/2, 3\pi/2]\\\ e^{2i\theta}&for\ \theta \in [3\pi/2, 2\pi]\end{matrix}\right.\)

तब \(\rm \int_{\gamma}\frac{dz}{z(z-2)}\) का मान क्या है?

संप्रत्यय:

कौशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए \( f(z) \) एक फलन है जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और पर वैश्लेषिक है, सिवाय C के अंदर परिमित संख्या में पृथक विचित्रताओं (अनंतकों) को छोड़कर। यदि \( f(z)\) में C के अंदर \(z_1, z_2, \dots, z_n \) पर पृथक विचित्रताएँ हैं, तो C के चारों ओर \( f(z) \) का समाकल इस प्रकार दिया गया है:

\(\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k) \)

व्याख्या:

\(\int_{\gamma} \frac{dx}{z(z - 2)}\), जहाँ वक्र \(\gamma(\theta) \) इस प्रकार खंडशः परिभाषित है:

\(\gamma(\theta) = \begin{cases} e^{2i\theta} & \text{जब } \theta \in [0, \frac{\pi}{2}] \\ 1 + 2e^{2i\theta} & \text{जब } \theta \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \\ e^{2i\theta} & \text{जब } \theta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \end{cases}\)

हम इस समाकल को हल करने के लिए कौशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है

\(f(z) = \frac{1}{z(z - 2)}\)

इस फलन में \( z = 0 \) और \(z = 2 \) पर दो विचित्रताएँ हैं। यदि वक्र \(\gamma\) इन विचित्रताओं को परिबद्ध करता है, तो समाकल का मान इन बिंदुओं पर फलन के अवशेषों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।

\( z = 0 \) पर अवशेष:

\( z = 0 \) पर अवशेष \(f(z) \) को \(z\) से गुणा करके और \(z \to 0 \) के रूप में सीमा लेकर ज्ञात किया जाता है:

\(\text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z - 2)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\)

\( z = 2 \) पर अवशेष:

\( z = 2 \) पर अवशेष इसी प्रकार ज्ञात किया जाता है,

\(\text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} (z - 2) \cdot \frac{1}{z(z - 2)} = \frac{1}{2}\)

अवशेष प्रमेय लागू करने पर:

चूँकि वक्र \( \gamma \) \( z = 0 \) और \( z = 2 \) पर दोनों विचित्रताओं को परिबद्ध करता है, समाकल का मान है

I = \(2\pi i \times (\text{sum of residues}) \)

= \( 2\pi i \times \left(-\frac{1}{2}\times 2 + \frac{1}{2}\times1\right)\)

= \(2\pi i(-\frac12)\) = -πi

इसलिए, सही विकल्प (3) है।