यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन किस प्रकार का होगा?

अवधारणा:

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: यदि a और b दो घनात्मक पूर्णांक हैं, तब घनात्मक पूर्णांक q और r इस प्रकार है कि   जहाँ  है।

प्रयुक्त सूत्र :

•  (xy)ⁿ = xⁿ yⁿ
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

गणना: माना, a एक घनात्मक पूर्णांक है और b = 3

इस प्रकार हम लिख सकते हैं,.

अब, हमें इस प्रश्न को 3 स्थितियों में हल करना है:

स्थिति 1: जब r = 0 है,

हमें ज्ञात होता है, a = 3q

दोनों पक्षों का घन करने पर, हमें ज्ञात होता है:

a³ = (3q)³

⇒a³ =27q³ ; a = 9m जहाँ m = 3q3

⇒a³ = 9(3q³) 

स्थिति 2 :जब r = 1 है,

हमें ज्ञात होता है, a = 3q+1

दोनों पक्षों का घन करने पर, हमें ज्ञात होता है:

a3 = (3q+1)³

हम जानते हैं कि, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

^{यहाँ, a = 3q और b = 1, इस प्रकार हमारा समीकरण बन जाता है:}

पहले तीन पदों से, 9 को उभयनिष्ठ के रूप में लेने पर, हमें ज्ञात होता है:

 जहाँ m = 

स्थिति 3: जब r = 2 है

हमें ज्ञात होता है, a = 3q + 2

दोनों पक्षों का घन करने पर, हमें ज्ञात होता है:

a3 = (3q+2)3 

पहले तीन पदों से, 9 को उभयनिष्ठ के रूप में लेने पर, हमें ज्ञात होता है:

 जहाँ 

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि एक पूर्णांक के घन का स्वरूप 9m, 9m+1 या 9m+2 है

अतः, सही उत्तर विकल्प 2) है।